Матричное представление для фермионного оператора аннигиляции

Question

Матричное представление для фермионного оператора аннигиляции

взмах

Мое предположение, что это должно выглядеть примерно так:

$c_\sigma = (\left|0\right>\left<\uparrow\right|+\left|\downarrow\right>\left<\downarrow\uparrow\right|)\delta_{\sigma,\uparrow}+(\left|0\right>\left<\downarrow\right|+\left|\uparrow\right>\left<\downarrow\uparrow\right|)\delta_{\sigma,\downarrow}$

где $\delta$ является дельтой Кронекера и состояниями $\left|0\right>,\left|\downarrow\right>,\left|\uparrow\right>,\left|\downarrow\uparrow\right>$ являются ортонормированными.

Теперь он ведет себя как оператор уничтожения

$c_{\downarrow}\left|0\right>=\left|0\right>, c_{\uparrow}\left|0\right>=\left|0\right>$

$c_{\downarrow}\left|\downarrow\right>=\left|0\right>, c_{\uparrow}\left|\downarrow\right>=\left|0\right>$

$c_{\downarrow}\left|\downarrow\uparrow\right>=\left|\uparrow\right>, c_{\uparrow}\left|\downarrow\uparrow\right>=\left|\downarrow\right>$

но антикоммутатор например $[c_{\uparrow},c_{\downarrow}]_+$ не ноль.

Можно ли определить это так (в терминах базисных состояний)?

Петр Кравчук

Вы также столкнетесь с другой проблемой с

[c_{↓}, c_{↓}]_{+}

$[c_\downarrow,c_\downarrow]_+$ . Если вы это сделаете, подумайте о том, чтобы действовать

| ↓ ⟩

$|\downarrow\rangle$ с этим антикоммутатором. В дополнение к проблеме со знаком, на которую указал Qmechanic, у вас есть еще одна неточность.

Ответы (1)

Матричное представление для фермионного оператора аннигиляции

Вы также столкнетесь с другой проблемой с $[c_\downarrow,c_\downarrow]_+$ . Если вы это сделаете, подумайте о том, чтобы действовать $|\downarrow\rangle$ с этим антикоммутатором. В дополнение к проблеме со знаком, на которую указал Qmechanic, у вас есть еще одна неточность.

Qмеханик · Answer 1

Главное: вы должны допустить возможность появления знаковых факторов в определении представления фермионных операторов в гильбертовом пространстве, ср. фермионное фоковское пространство .

Более подробно рассмотрим алгебру CAR

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} {с_{о}, с_{т}}_{+} "=" & 0, {с_{о}, с_{т}^{†}}_{+} "=" {дельта}_{о, т} 1, \\ {с_{о}^{†}, с_{т}^{†}}_{+} "=" & 0, о, т е {↑, ↓} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{c_{\sigma}, c_{\tau}\}_+~=~&0, \qquad \{c_{\sigma}, c^{\dagger}_{\tau}\}_+~=~\delta_{\sigma,\tau} {\bf 1}, \cr \{c^{\dagger}_{\sigma}, c^{\dagger}_{\tau}\}_+~=~&0, \qquad \sigma,\tau\in \{\uparrow,\downarrow\}. \end{align}\tag{1}$

Следующее определение

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} с_{о} | 0 ⟩ "=" & 0, | о ⟩ "=" с_{о}^{†} | 0 ⟩, \\ | о т ⟩ "=" & с_{о}^{†} | т ⟩, о, т е {↑, ↓} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}c_{\sigma}\left|0\right>~:=~&0, \qquad \left|\sigma\right>~:=~ c^{\dagger}_{\sigma}\left|0\right>, \cr \left|\sigma\tau\right>~:=~& c^{\dagger}_{\sigma}\left|\tau\right>, \qquad \sigma,\tau\in \{\uparrow,\downarrow\}.\end{align}\tag{2}$

Обратите внимание, что эти определения подразумевают, что

\begin{matrix} (3) & | о т ⟩ "=" - | т о ⟩, о, т е {↑, ↓} . \end{matrix}

$\left|\sigma\tau\right> ~=~ -\left|\tau\sigma\right>, \qquad \sigma,\tau\in \{\uparrow,\downarrow\}.\tag{3}$

В частности

\begin{matrix} (4) & | о о ⟩ "=" 0, о е {↑, ↓} . \end{matrix}

$\left|\sigma\sigma\right> ~=~ 0, \qquad \sigma\in \{\uparrow,\downarrow\}. \tag{4}$

Кстати, в комментарии к предыдущему вопросу я упомянул, что операторы создания/уничтожения для разных полей в принципе могут коммутировать. Это соответствует рассмотрению пространства Фока как обычного тензорного произведения, в то время как кажется естественным принять его как градуированное тензорное произведение. Интересно, в какой момент произведение бозонного тензора становится уродливым? Я думаю, что для проекций спина это близко к вращательной инвариантности, но как насчет двух взаимодействующих, но разных полей?
Итак, я должен изменить свои состояния на |n>*|spin>, чтобы сделать правильных операторов?

Матричное представление для фермионного оператора аннигиляции

взмах

Петр Кравчук

Ответы (1)

Qмеханик

Петр Кравчук

взмах

Qмеханик

Представление чисел Грассмана для фермионов

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Различные следствия теоремы Вика в фермионных и бозонных системах конденсированного состояния

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене