Представление чисел Грассмана для фермионов

Как можно одновременно представить фермионные операторы (обозначенные шляпками) и соответствующие им грассмановы переменные (обозначенные без шляпок), чтобы все антикоммутационные соотношения между ними, а также состояниями имели место?

с ^ с ^ † + с ^ † с ^ "=" 1 с 2 "=" 0 с ¯ 2 "=" 0 с с ¯ + с ¯ с "=" 0 с с ^ + с ^ с "=" 0 с с ^ † + с ^ † с "=" 0 с ¯ с ^ + с ^ с ¯ "=" 0 с ¯ с ^ † + с ^ † с ¯ "=" 0 с | 0 ⟩ − | 0 ⟩ с "=" 0 с | 1 ⟩ + | 1 ⟩ с "=" 0 с ¯ | 0 ⟩ − | 0 ⟩ с ¯ "=" 0 с ¯ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ с ¯ "=" 0.
Кажется, что невозможно представить и эти операторы, и числа Грассмана в виде матриц, или я ошибаюсь? Антикоммутация с состояниями требует, чтобы числа были антиэрмитовыми, но они должны быть треугольными, чтобы удовлетворять нильпотентности, это работает только для нулевой матрицы.

В моем случае мне нужно, чтобы это также работало для двух фермионов с четырьмя состояниями. Я могу представить операторы в виде матриц и состояний в виде векторов следующим образом

| 0 ⟩ "=" { 1 , 0 , 0 , 0 } | ↓ ⟩ "=" { 0 , 1 , 0 , 0 } | ↑ ⟩ "=" { 0 , 0 , 1 , 0 } | ↓↑ ⟩ "=" { 0 , 0 , 0 , 1 } с о ^ "=" ( 0 дельта о ↓ дельта о ↑ 0 0 0 0 − дельта о ↑ 0 0 0 дельта о ↓ 0 0 0 0 ) с о "=" ? с о ¯ "=" ?
Так как же мне представить эти числа Грассмана?

@ACuriousMind Да, я видел это, эти матрицы не удовлетворяют всем отношениям.

Ответы (2)

I) Да, если ОП настаивает на наличии переменных Грассмана, то можно представить фермионные операторы в виде матриц с оговоркой, что фермионное фоковское пространство состояний является супервекторным пространством , а матрицы — суперматрицами .

Если у нас есть 2 оператора создания с ^ о † , о е { ↑ , ↓ } , то есть:

  • 2 бозонных состояния (1 вакуумное состояние | 0 ⟩ и 1 двухчастичное состояние | ↑↓ ⟩ ), и

  • 2 фермионных одночастичных состояния, | ↑ ⟩ и | ↓ ⟩ .

См. также, например, мой ответ Phys.SE здесь . Давайте представим 4 состояния

(1) | 0 ⟩ "=" ( 1 0 0 0 ) , | ↑↓ ⟩ "=" ( 0 1 0 0 ) , | ↑ ⟩ "=" ( 0 0 1 0 ) , | ↓ ⟩ "=" ( 0 0 0 1 ) .

как 4 базисных вектора в супервекторном пространстве С 2 | 2 . Другими словами, пространство Фока изоморфно С 2 | 2 .

Фермионные операторы представлены ( 2 + 2 ) × ( 2 + 2 ) суперматрицы в Е н г ( С 2 | 2 ) "=" л ( С 2 | 2 , С 2 | 2 ) . Их будет четыре 2 × 2 блоки. Например:

(2) с ^ ↑   "="   ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , с ^ ↑ †   "="   ( 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ) .

Обратите внимание, что обе приведенные выше суперматрицы являются нечетными по Грассману, несмотря на то, что все ненулевые матричные элементы являются четными по Грассману. Это связано с тем, что ненулевые элементы матрицы находятся вне диагонали. 2 × 2 Блоки Бозе-Ферми.

Более того, можно проверить, что антикоммутатором двух вышеуказанных суперматриц (2) является 4 × 4 единичная матрица, как и должно быть, чтобы имитировать алгебру CAR .

Операторы с ^ ↓ и с ^ ↓ † имеют аналогичные представления в терминах суперматриц. Мы оставляем читателю в качестве упражнения выработать их.

Имейте в виду, что символы равенства ' "=" ' в уравнениях. (1) и (2) означают, что они представлены , а не равны. В частности, имейте в виду, что числа Грассмана по-прежнему коммутируют/антикоммутируют с операторами/состояниями, основанными на их четности Грассмана.

II) Если нет переменных Грассмана, а есть только фермионные операторы и состояния, то мы можем представить фермионное пространство Фока как внешнюю алгебру ⋀ ∙ В порожденное пространством 1-частичных состояний

(3) В   "="   с п а н С { | ↑ ⟩ , | ↓ ⟩ }   ≅   С 2 .
Вакуумное состояние | 0 ⟩ реализуется как
(4) ⋀ 0 В   ≅   С   ≅   С | 0 ⟩ .
2 оператора рождения и 2 оператора уничтожения порождают алгебру Клиффорда С л ( Вт ) ≅ С 16 , где
(5) Вт   "="   с п а н С { с ^ ↑ , с ^ ↑ † , с ^ ↓ , с ^ ↓ † }   "="     с п а н С { γ ^ мю | мю "=" 1 , 2 , 3 , 4 }   ≅   С 4 ,
где
(6) γ ^ 1   "="   с ^ ↑ + с ^ ↑ † , γ ^ 2   "="   с ^ ↓ + с ^ ↓ † γ ^ 3   "="   с ^ ↑ − с ^ ↑ † я , γ ^ 4   "="   с ^ ↓ − с ^ ↓ † я ,
так что
(7) { γ ^ мю , γ ^ ν } +   "="   2 дельта мю ν 1 ^ ,
ср. например, ссылка 1. Хорошо известно, что алгебра Клиффорда С л ( Вт ) может быть представлен 4 × 4 Матрицы Дирака.

Использованная литература:

  1. М. Б. Грин, Дж. Х. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, Vol. 1, 1986; Приложение 5.А.
Определенно вы можете представить эти фермионные операторы матрицами, что является стандартной квантовой механикой! Но вы не можете сделать это для переменных Грассмана. Это то, что я утверждал в своем ответе.
Это не отвечает на вопрос, потому что все равно переменные Грассмана остаются переменными Грассмана, которые не являются никакими операторами и не могут быть сведены к набору действительных чисел!
В квантовой механике для представления объекта матрицей обязательным условием является то, что этот объект должен действовать в гильбертовом пространстве. Переменная Грассмана не является любым оператором и не действует в гильбертовом пространстве. Так что поставить его как матрицу нельзя.

Невозможно представить переменные Грассмана с помощью матриц! На самом деле, это большое препятствие, которое препятствует использованию так называемого подхода диффузии квантового состояния для систем, помещенных в фермионные ванны. Вы можете найти много статей по этому вопросу, погуглив эту тему. Кроме того, индивидуальная переменная Грассмана не имеет физического смысла. Это то, что изобретено в основном для «бухгалтерского учета» в методе интеграла по путям! В книге XG Wen есть хорошее, но краткое изложение.

Представление чисел Грассмана для фермионов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v