Кинетическая энергия массивной пружины

Предположим, у нас есть система с массой пружины, в которой пружина не считается безмассовой (имеет массу$M$) и имеет длину$L$. Один конец пружины зафиксирован, а другой конец, как я полагаю, свободно колеблется. Здесь мне говорят, что пружина предполагается однородной и растягивается равномерно. Если я хочу найти кинетическую энергию пружины, мы должны составить для нее выражение

$$dT_{\text{spring}} = \frac{1}{2}u^{2} dm$$

где$dT_{\text{spring}}$- кинетическая энергия бесконечно малой части$dm$где-то по весне и$u$- соответствующая ему скорость. Так как пружина однородная, я могу найти ее массовую плотность

$$\lambda = \frac{dm}{dx} \longrightarrow dm = \lambda dx = \frac{M}{L}dx$$

так что

$$dT_{\text{spring}} = \frac{1}{2}u^{2}\frac{M}{L}dx$$

Один шаг, который я не понимаю, это как$u= \frac{x}{L}v$, где$v$я думаю, это скорость некоторой точки, которая была смещена из-за растяжения пружины (пожалуйста, поправьте меня здесь, если я ошибаюсь). Почему скорость куска$dm$линейно пропорциональна$v$и как я могу вывести это выражение математически, т.е. если$u = \alpha v$, как мне найти$\alpha$и почему? Что-то не укладывается у меня в голове, и я чувствую, что это связано с тем, что пружина считается однородной. Тогда возникает вопрос: а если бы это было не так? Что бы я сделал в таком случае?