Противоречие о колеблющейся массе [закрыто]

Question

Противоречие о колеблющейся массе [закрыто]

Толга А.

Бусинка колеблется в горизонтальном направлении, как показано на рисунке, наша цель - найти угловую частоту колеблющейся бусинки.

Во-первых, мы можем записать потенциал как:

В (л) "=" \frac{1}{2} к \cdot л^{2}

$V(l)=\frac{1}{2}k\cdot l^2$ здесь

l = \sqrt{x^{2} + l_{0}^{2}} - l_{0}

$\quad l=\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \quad$ затем:

В (Икс) "=" \frac{1}{2} к \cdot {(\sqrt{{Икс}^{2} + л_{0}^{2}} - л_{0})}^{2}

$V(x) =\frac{1}{2}k\cdot \left(\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \right)^2$ Возьмем вторую производную от этого:

В^{″} (Икс) "=" \frac{к (\sqrt{{Икс}^{2} + л_{0}^{2}} (- {Икс}^{4} - л_{0}^{2} {Икс}^{2}) + {({Икс}^{2} + л_{0}^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 {Икс}^{2} + л_{0}^{2}) - л_{0}^{3} {Икс}^{2} - л_{0}^{5})}{{({Икс}^{2} + л_{0}^{2})}^{\frac{5}{2}}}

$V''(x)= \dfrac{k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}\left(-x^4-l_0^2x^2\right)+\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{3}{2}\left(2x^2+l_0^2\right)-l_0^3x^2-l_0^5\right)}{\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{5}{2}}$ наше положение равновесия на

x

$x$ направление

x_{e q} = 0

$x_{eq}=0$ подключив это к

ю "=" \sqrt{\frac{В^{″} ({Икс}_{е д})}{м}}

$\omega = \sqrt\frac{V''(x_{eq})}{m}$ дает:

ю "=" \sqrt{\frac{В^{″} (0)}{м}} "=" 0

$\omega = \sqrt\frac{V''(0)}{m} = 0$ Это кажется немного глупым, потому что кажется очевидным, что он должен колебаться с ненулевой угловой частотой. Есть ли способ найти эту угловую частоту?

Толга А.

@AaronStevens Спасибо за комментарий, я проверил производную на бумаге, а также проверил ее на Wolfram, чтобы увидеть, не пропустил ли я что-то, но не смог найти никаких ошибок. Работать с

l

$l$ кажется немного сложным, но стоит попробовать.

Альфред Центавр

Толга, я могу ошибаться в этом, но я считаю, что, вопреки обычному предписанию смотреть на малые смещения для линеаризации осциллятора, здесь нужно смотреть на большие смещения. Я отредактировал свой ответ, чтобы решить эту проблему.

Сэмми Песчанка

Возможный дубликат Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами.

Сэмми Песчанка

Вывод правильный: угловая частота колебаний малой амплитуды (

A \to 0

$A\to 0$ ) равно нулю. Из вашего предположения следует, что в положении равновесия натяжение пружины равно нулю. Если пружина имеет ненулевое натяжение в положении равновесия, вы получите ненулевую частоту колебаний при малых амплитудах.

Ответы (3)

Противоречие о колеблющейся массе [закрыто]

@AaronStevens Спасибо за комментарий, я проверил производную на бумаге, а также проверил ее на Wolfram, чтобы увидеть, не пропустил ли я что-то, но не смог найти никаких ошибок. Работать с $l$ кажется немного сложным, но стоит попробовать.
Толга, я могу ошибаться в этом, но я считаю, что, вопреки обычному предписанию смотреть на малые смещения для линеаризации осциллятора, здесь нужно смотреть на большие смещения. Я отредактировал свой ответ, чтобы решить эту проблему.
Возможный дубликат Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами.
Вывод правильный: угловая частота колебаний малой амплитуды ( $A\to 0$ ) равно нулю. Из вашего предположения следует, что в положении равновесия натяжение пружины равно нулю. Если пружина имеет ненулевое натяжение в положении равновесия, вы получите ненулевую частоту колебаний при малых амплитудах.

Альфред Центавр · Answer 1

Есть ли способ найти эту угловую частоту?

Сила этого потенциала равна

Ф "=" - к Икс (1 - \frac{л_{0}}{\sqrt{л_{0}^{2} + {Икс}^{2}}}) \approx - \frac{к}{2 л_{0}^{2}} {Икс}^{3}, Икс ≪ л_{0}

$F = -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{l^2_0 + x^2}}\right)\approx -\frac{k}{2\,l^2_0}x^3,\quad x\ll l_0$

и поэтому эта нелинейная система не является приблизительно линейной в режиме малых перемещений, как, например, маятник. Маловероятно, что движение будет описываться чистой синусоидой угловой частоты $\omega$

Выпив еще немного кофе, я понял, что в режиме большого водоизмещения сила составляет примерно

Ф \approx - к Икс (1 - \frac{л_{0}}{\sqrt{{Икс}^{2}}}) \approx - к Икс, Икс ≫ л_{0}

$F \approx -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{x^2}}\right)\approx -kx,\quad x\gg l_0$

Таким образом, для достаточно большой амплитуды я ожидал бы, что движение будет приблизительно синусоидальным с угловой частотой $\omega \approx \sqrt{k/m}$ . Конечно, будут присутствовать дополнительные частотные компоненты, хотя я ожидаю, что они станут относительно меньше по мере увеличения амплитуды.

Мне вспоминается двухтактная схема BJT класса B, в которой есть так называемые перекрестные искажения, когда один транзистор «выключается», а другой транзистор «включается». Кривая передачи напряжения довольно нелинейна в этой области, но совершенно линейна в других местах.

Кредит изображения

Таким образом, синусоидальные входные сигналы малой амплитуды сильно искажаются этой схемой, но содержание искажений на выходе быстро уменьшается по мере увеличения входной амплитуды.

Да, я заметил, что это сработает и для больших перемещений, но я не знал, как с этим справиться. Очень круто.

Биофизик · Answer 2

Проблема в том, что вблизи равновесия ваша сила не является линейной, поэтому мы не можем аппроксимировать систему как простой гармонический осциллятор.

Ваша горизонтальная сила

Ф_{Икс} "=" \frac{- к Икс (\sqrt{{Икс}^{2} + л_{0}^{2}} - л_{0})}{\sqrt{{Икс}^{2} + л_{0}^{2}}} "=" - к Икс + \frac{к Икс л_{0}}{\sqrt{{Икс}^{2} + л_{0}^{2}}}

$F_x=\frac{-kx\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right)}{\sqrt{x^2+l_0^2}}=-kx+\frac{kxl_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}$

К сожалению, это не избавит вас от вашей проблемы, так как $\frac{dF}{dx}=0$ когда $x=0$ , так близко $x=0$ (или $x\ll l_0$ ) сила нелинейна (т.е. не похожа на $F=-kx$ для $k\neq0$ ). Поэтому ваш вывод правильный. Это просто означает, что мы не можем найти величину, которая представляет угловую частоту для SHM.

Заметим, что вообще только потому, что сама сила не имеет вида $F=-kx$ не означает, что мы не можем аппроксимировать силу, чтобы эта форма была близка к равновесию. К сожалению, для данного конкретного случая сила не может быть аппроксимирована таким образом.

Дол · Answer 3

Обратите внимание, что формула, которую вы используете для $\omega$ предполагает простое гармоническое движение, а используемый вами потенциал не приводит к простому гармоническому движению.

Противоречие о колеблющейся массе [закрыто]

Толга А.

Толга А.

Альфред Центавр

Сэмми Песчанка

Сэмми Песчанка

Ответы (3)

Альфред Центавр

Биофизик

Биофизик

Дол

Вопрос о равновесии Block-Spring [дубликат]

Как рассчитать потенциальную энергию связанных осцилляторов?

Максимальная кинетическая энергия пружины

Нахождение коэффициента трения

Почему соединенные безмассовые пружины ведут себя как натянутая веревка?

Кинетическая энергия массивной пружины

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Простая система гармонических осцилляторов и изменение ее полной энергии

Какой подход выбрать с вертикальной пружиной?

Кинетическая энергия в пружине