Что такое Пропагатор в случае свободной частицы? (Интегралы пути с исходным термином)

У Джин Зинн-Джастин есть отличный способ обучения методам интеграла по траекториям, начиная с конечномерных случайных величин (иногда называемых «0-мерными полями»). Здесь вы должны думать об этом как о приближении дискретной решетки к непрерывным полям. В духе подхода Зинна-Джастина я опишу, как это делается для одномерной системы свободных частиц, которую вы описали выше.

При условии, что$q(t)$исчезает в бесконечном прошлом и бесконечном будущем, ваш лагранжиан$L[q]=\int dt\frac{1}{2}m\dot q^2(t)$можно переписать как$\int dt\big[-\frac{1}{2}m q \ddot q\big]$, используя интегрирование по частям. В этих обозначениях вы можете думать об этом как о билинейном$\int dt\big[\frac{1}{2}mq(t)(-\partial_t^2)q(t)\big]=\frac{1}{2}m\langle q,-\partial_t^2q\rangle=\frac{1}{2}q^T A q$. В последнем выражении используются обозначения из конечномерной линейной алгебры, чтобы временно демистифицировать некоторые шаги. Здесь,$A$рассматривается как своего рода матричная реализация линейного оператора$-m\partial_t^2$. Мы также можем предположить, что$A=A^T$.

Способ получения явного выражения для производящего функционала$Z[J]$заключается в завершении квадрата в интеграле по путям, выполняя линейную замену переменных. Для этого нам нужно использовать некоторое понятие , обратное$A$:

$$\begin{align*} \int \mathcal D q \exp\bigg[-\frac{1}{2}q^TAq - J\cdot q\bigg]=&\int\mathcal D q\exp\bigg[-\frac{1}{2}(q+A^{-1}J)^TA(q+A^{-1}J)+\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\ =&\int\mathcal Dq\exp\bigg[-\frac{1}{2}q^T A q\bigg]\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\ =& Z_0\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J^T\bigg]. \end{align*}$$ Чтобы завершить вывод, нам нужно решить (и выбрать соглашение) для $A^{-1}$, которая называется функцией Грина. В общем, это сложно из-за существования гармонических функций $f$которые удовлетворяют $Af=0$(т.е. $A=-m\partial_t^2$имеет нетривиальное ядро, состоящее из постоянных функций и дрейфового члена). Физически вы можете интерпретировать эти гармонические функции в более общем смысле как излучение от источников, расположенных в далеком прошлом (или менее физически, в далеком будущем), и они приводят к различию между опережающими и запаздывающими функциями Грина. В общем случае принято выбирать гармоническую часть функции Грина так, чтобы граничные условия легко удовлетворялись линейно независимыми комбинациями функции Грина. Например, запаздывающая функция Грина определяется условием причинности, что она должна исчезнуть в далеком прошлом.

Естественно, разрешенное пространство$J$ограничен доменом, на котором$A^{-1}$имеет смысл. На практике$J$удовлетворяют законам сохранения и должны достаточно быстро затухать на границах.

На чисто формальном уровне вычисление функциональных производных по$J$из$Z[J]$в точности аналогично вычислению частных производных по$\vec J$некоторой дискретной конечномерной аппроксимации статистической суммы: в экономичных конечномерных обозначениях$\frac{1}{Z_0}\frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}Z[ J]\Big|_{J=0}:= \frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}\exp\Big[\frac{1}{2}J_i A_{ij}^{-1}J_j\Big]\Big|_{J=0}=\frac{\delta}{\delta J_1}\frac{1}{2}(J_iA_{i2}^{-1}+A_{2i}^{-1}J_i)\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}^{-1}J_j)\Big|_{J=0}=\frac{1}{2}(A_{12}^{-1}+A_{21}^{-1})\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}J_j)\Big|_{J=0}+\mathcal O (J^2)\Big|_{J=0}=A_{12}^{-1}=:G(\tau_1,\tau_2)$.

Функцию Грина можно рассматривать как элементарное решение неоднородной версии линейного дифференциального уравнения. Двухточечная корреляционная функция в вашем примере является функцией Грина для уравнения одномерной диффузии, но существует определенная свобода выбора функции Грина в зависимости от количества независимых гармонических мод. Даже корреляционная функция зависит от того, как определено пространство полей, по которому интегрируется. Одним из распространенных способов выбора функции Грина является наложение исчезающих граничных условий. Для броуновского движения выбор граничных условий можно интерпретировать как выбор системы отсчета.

Теперь явный пример. Рассмотрим флуктуирующую упругую «струну» с$q(0)=q(L)=0$. Чтобы найти корреляционную функцию, мы сначала выбираем подходящий базис для описания флуктуаций: здесь мы можем расширить конфигурации$q(s)$в модах Фурье$S_n(s)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi s}{L})$, где$n\in\mathbb N$. В этом базисе оператор$-\partial_s^2$выступает в качестве$-\partial_s^2 S_n(s)=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2S_n(s)$. Следовательно, его можно инвертировать, определив$(-\partial_s^2)^{-1} S_n(s)=\frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s)$, продолжающийся по линейности. Чтобы найти интегральное ядерное представление$(-\partial_s^2)^{-1}$в позиционном пространстве нам нужно оценить

$$\begin{align*} \sum_{n\geq 1} \frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s')S_n(s)=-\frac{L}{\pi^2}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}\bigg[\cos(\frac{\pi n}{L}(s+s'))-\cos(\frac{\pi n}{L}(s-s'))\bigg] \end{align*}$$ В пределе больших $L$, сумма свыше $n$можно заменить интегралом по $\omega\equiv\frac{\pi n}{L}$: $$\begin{align*} G(s,s')= -\int_{\frac{\pi}{L}}^\infty\frac{d\omega}{\pi}\frac{1}{\omega^2}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg] \end{align*}$$ Этот интеграл вообще можно выполнить, взяв соответствующие пределы сумм контурных интегралов (где сумма подынтегральных выражений, ограниченная действительной прямой, должна приближаться к исходной функции $\frac{1-\cos(x)}{x^2}$). Здесь допустимая последовательность приближений $$\begin{align*} G_\epsilon(s,s')=-\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\epsilon}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg],\quad \epsilon\rightarrow 0^+. \end{align*}$$ Для выполнения интегралов по контуру указанную выше функцию можно разбить на положительную и отрицательную частотные части, которые имеют полюса при $\omega=\pm i\epsilon$. Результат предельного интегрирования при $s \geq s'$является $G(s,s')=s'$, или вообще $G(s,s')=\min(s,s')$из-за симметрии между $s$и $s'$в этом случае (а также поскольку $s$и $s'$являются положительными). [Обратите внимание, что этот результат действителен в пределе как $L$приближается к бесконечности. Вблизи противоположной границы аналогичная формула для $G(s,s')$держится, кроме как с $s\mapsto L-s$.]