Линейный отклик и интеграл по пути

Я слежу за книгой Вена по квантовой теории поля, и я борюсь с разделом 2.2.1 о линейном отклике и функциях отклика.

В частности, я не могу воспроизвести уравнение 2.2.7, в котором книга вычисляет линейный отклик гармонического осциллятора для основного состояния, в котором возмущение находится на x , а наблюдаемое состояние также x

Из функции отклика имеем:

Д ( т , т ′ ) "=" − я Θ ( т − т ′ ) < ψ 0 | [ О ^ 1 ( т ) , О ^ 2 ( т ′ ) ] | ψ 0 >
Как я уже говорил, меня интересуют вычисления, в которых О ^ 1 "=" О ^ 2 "=" Икс ^

Следующие шаги - это те, над которыми я борюсь.

Д ( т , т ′ ) "=" − я Θ ( т − т ′ ) < 0 | [ Икс ^ ( т ) , Икс ^ ( т ′ ) ] | 0 >= − 2 Θ ( т − т ′ ) < 0 | Икс ^ 2 | 0 > с я н ( ж ( т − т ′ ) )

И тогда, если возмущение О ^ 1 "=" − д Икс ^ ε ( т ) "=" − д Икс ^ ε е − 0 + | т |

г "=" ∫ − ∞ ∞ Д ( т − т ′ ) е − 0 + | т ′ | ( − ε ) г т ′ "=" − д 2 Д ю "=" 0 ε "=" 2 д 2 < 0 | Икс ^ | 0 > ю 0 ε

С Д ю "=" ∫ − ∞ ∞ Д ( т ) е я ю т г т

Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь объяснил мне алгебру, так как я не смог воспроизвести результаты.

Я напечатал уравнения в том виде, в каком они представлены в книге, за исключением двух изменений:

  1. я заменил зарядку е с д чтобы избежать возможной путаницы с экспонентами

  2. я написал все Икс как операторы

Наконец, в книге не упоминается квадратичный член гармонического осциллятора, поэтому я не знаю, написано ли это как ю или ю 0 , я могу только думать, что разные угловые частоты происходят из-за опечатки.

Я думаю, что это может помочь любому, кто может помочь мне, если я напишу, что я сделал, и, возможно, они укажут на ошибку. Для [x(t), x(t')] я пробовал 2 вещи, во-первых, использовать представление Гейзенберга, но застрял, поскольку операторы не коммутируют ни с гамильтонианом, ни с оператором эволюции времени. Затем я попытался использовать решение (x(t)=A sinwt + Bcos(wt)) из уравнения Икс ˙ "=" − я [ ЧАС , Икс ] , но я пришел к выводу, что [x(t),x(t')] = 0. Для преобразования Фурье я принял предыдущее и рассматривал интеграл как преобразование Фурье, но преобразование отличается от показанного. Спасибо
Вы можете отметить команды \langle и \rangle в LaTeX.

Ответы (1)

В моем экземпляре книги выражение для гамильтониана гармонического осциллятора дается как ЧАС "=" 1 2 м ( п 2 + м 2 ю 0 2 Икс 2 ) , так что опечатки нет, но копии могут отличаться.

Я рассматриваю операторы Гейзенберга Икс ( т ) и п ( т ) и определить п 0 ≡ п ( 0 ) и Икс 0 "=" Икс ( 0 ) . Стандартные учебники по квантовой механике, такие как Мессия, глава XII, дадут важные результаты о гармоническом осцилляторе, в частности (Мессия XII.43):

< н | Икс 2 | н >= Е н м ю 0 2 , так что < 0 | Икс 2 | 0 >= ℏ 2 м ю 0 .

Относительно ваших вопросов: По первой части ваш комментарий близок к правильному выводу: возьмем Икс ( т ) "=" Икс 0 потому что ⁡ ( ю 0 т ) + п 0 м ю 0 грех ⁡ ( ю 0 т ) (Мессия XII. 34), но имейте в виду, что Икс 0 и п 0 являются операторами, и они не коммутируют: [ Икс 0 , п 0 ] "=" я ℏ . Если принять это во внимание, то получится

[ Икс ( т ) , Икс ( т ′ ) ] "=" − я ℏ м ю 0 грех ⁡ ( ю 0 ( т − т ′ ) ) "=" − 2 я < 0 | Икс 2 | 0 > грех ⁡ ( ю 0 ( т − т ′ ) ) .
Это показывает первое отношение, которое вы искали:
Д ( т − т ′ ) "=" − 2 < 0 | Икс 2 | 0 > Θ ( т − т ′ ) грех ⁡ ( ю 0 ( т − т ′ ) )

С этим вы можете справиться со вторым пунктом вашего вопроса:

г "=" 2 е 2 Е < 0 | Икс 2 | 0 > ∫ − ∞ т е 0 + т ′ грех ⁡ ( ю 0 ( т − т ′ ) ) г т ′ "=" 2 е 2 Е < 0 | Икс 2 | 0 > ∫ − ∞ т е я ю 0 ( т − т ′ ) − е я ю 0 ( т − т ′ ) 2 я е 0 + т ′ "=" 2 е 2 Е < 0 | Икс 2 | 0 > ю 0 .

Линейный отклик и интеграл по пути
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v