Сравнение одномерных и трехмерных волновых функций

Случай 3D отличается от случая 1D, поэтому не чувствуйте себя слишком привязанным к аналогии. Однако в одномерном случае вы получите только синусоидальные функции в качестве решений, если поместите «жесткую стену» (бесконечный потенциальный барьер) в точке$x=0$. В основном это то, что здесь происходит: начало координат является своего рода «жесткой» границей радиального уравнения, поскольку «отрицательный радиус» не имеет смысла.

Кроме того, косинусоподобное решение расходится как$\frac{1}{r}$в$r=0$что не удовлетворяет уравнению Шрёдингера. Точнее, а$\frac{1}{r}$-решение нормализуется , но$\nabla^2(\frac{1}{r})=-4\pi\delta(r)$и для удовлетворения уравнения Шредингера в этом случае нам нужно$\nabla^2(\frac{1}{r})=\frac{E}{r}$.

Наконец, есть решение уравнения и вне сферы. Он (как вы указываете) экспоненциально затухает. В этом решении также есть неопределенная константа, поэтому вам нужны два граничных условия, чтобы найти две неопределенные константы: одно внутри и одно снаружи.

Редактировать : поскольку в комментариях недостаточно места, чтобы адекватно показать мою точку зрения о двух граничных условиях, я отвечаю здесь.

Да, вы правы в том, что всего с двумя условиями (нормализация и непрерывность) вы можете получить разумное решение, но вы не можете получить правильное решение. Это связано с тем, что нормализация — это требование, которое мы предъявляем, а непрерывность и гладкость — это математические требования системы. Я мог бы так же легко потребовать, чтобы$\psi(3)=16$и это имело бы такое же математическое значение для решения проблемы, как и нормализация.

Однако верно то, что нормализация — это ограничение на решения системы; следовательно, эта система на самом деле является чрезмерно определенной и допускает только счетное число решений (отличительный признак любой теории Штурма-Лиувилля ). Другими словами, условие нормировки важно, но оно не отменяет других, строгих математических требований задачи (а именно гладкости). Далее я попытаюсь математически строго объяснить, почему это так.

(Кроме того, я хочу отметить, что в одномерном случае у вас есть не только непрерывность и гладкость на одной границе: они у вас есть на 2 границах. В этом случае у вас фактически есть 4 уравнения с 4 неизвестными - так как будет затухающий раствор и на другом конце колодца, так что не путайте 1D и 3D, здесь они соответствуют только тогда, когда есть "жесткая стена" на$r=0$(в этом случае у вас будет только 1 неизвестное внутри колодца, поскольку косинусные решения не допускаются).)

Во-первых, поскольку вы согласны с тем, что волновая функция должна быть непрерывной в$r=a$, я докажу, что отсюда следует, что волновая функция также является гладкой при$r=a$(даже в случае 3D). Во-вторых, я покажу, что с условием гладкости мы восстанавливаем дискретный спектр связанных состояний (как и ожидалось). В-третьих, я докажу, что без условия гладкости мы восстанавливаем континуум связанных состояний. Поэтому, показав, что требуется гладкость и что она подразумевает дискретный спектр, я покажу, что решение задачи без учета гладкости некорректно, поскольку не дает тех же результатов, что и математически строгий метод.

Во-первых, поскольку мы считаем, что функция непрерывна (но, возможно, не дифференцируема) при$r=a$, решим следующее интегральное уравнение:

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Big[\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dr^2}dr\Big]+\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Big[\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}V(r)\psi(r)dr\Big]=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Big[\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}E\psi(r)dr\Big]$$ По сути, я просто интегрирую уравнение Шредингера для этой задачи в небольшой области вокруг точки, где мы ожидаем, что волновая функция (возможно) будет иметь точку возврата. Здесь, $V(r)=0$(когда $r<a$) или $V(r)=V_0$(когда $r>a$). Что означает, что $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Big[\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}V(r)\psi(r)dr\Big]=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\Big[\int_{a}^{a+\epsilon}V_0\psi(r)dr\Big]=0$$ Решение приведенных выше уравнений дает: $$\frac{-\hbar^2}{2m}\Big(\frac{d\psi}{dr}\Big|_{r=a^+}-\frac{d\psi}{dr}\Big|_{r=a^-}\Big)=0 \\ \therefore \ \frac{d\psi}{dr}\Big|_{r=a^+}=\frac{d\psi}{dr}\Big|_{r=a^-}$$ И это последнее уравнение как раз и есть определение гладкости.

Теперь давайте возьмем трехмерную задачу для$l=0$(это тот случай, о котором вы спрашиваете в своем вопросе) и решить его:

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dr^2}=E\psi_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{for r<a)}\\ \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dr^2}+V_0\psi_2=E\psi_2 \ \ \ \text{(for r>a)}$$ Давайте определим $k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$и $k_2=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$. Поэтому, $$\frac{d^2\psi_1}{dr^2}=-k_1^2\psi_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{for r<a)}\\ \frac{d^2\psi_2}{dr^2}=k_2^2\psi_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(for r>a)}$$ Предположим, что $E<V_0$так что мы получаем экспоненциальные решения, когда $r>a$вместо колебательных решений. Когда $E>V_0$, наши решения не являются связанными состояниями и не затухают экспоненциально при $r\rightarrow\infty$. Решение этих уравнений дает $$\psi_1(r)=A\sin(k_1r)+B\cos(k_1r) \\ \psi_2(r)=Ce^{k_2r}+De^{-k_2r}$$ Теперь мы должны применить наши граничные условия. Во-первых, поскольку у нас есть бесконечный потенциальный барьер на $r=0$, $\psi_1(0)=0$; поэтому, $B=0$. Далее, в силу нормализуемости мы должны потребовать, чтобы $\psi_2(\infty)=0$; поэтому, $C=0$. Это оставляет только $$\psi_1(r)=A\sin(k_1r) \\ \psi_2(r)=De^{-k_2r}$$ Теперь применим наше условие непрерывности при $r=a$: $$A\sin(k_1a)=De^{-k_2a} \\ \therefore \frac{A}{D}=\frac{e^{-k_2a}}{\sin(k_1a)}$$ Теперь, если вы хотите однозначно решить проблему, вы должны применить сглаживание в $r=a$, что даст вам $$k_1A\cos(k_1a)=-k_2De^{-k_2a} \\ \therefore \tan(k_1a)=-\frac{k_1}{k_2}$$

Это последнее уравнение является трансцендентным уравнением, которое позволяет нам решать энергетические уровни связанных состояний задачи. Вот график WolframAlpha двух сторон этого уравнения, когда$a=10$и$V_0=50$. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{Tan[Sqrt[x]*10]%2C+-Sqrt[x%2F%2850-x%29]}%2C{x%2C0 %2C50}]) Как видите, между двумя графиками имеется только конечное число пересечений, а значит, и допустимых значений энергии только конечное число (т.е. энергетический спектр дискретен).

Наконец, давайте взглянем на попытку решить проблему, используя только непрерывность и нормализацию.

$$A\sin(k_1a)=De^{-k_2a} \\ 1=\int^a_0A^2\sin^2(k_1r)dr+\int^\infty_aD^2e^{-2K_2r}dr \\ \therefore \ A=\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{2}-\frac{\sin(2k_1a)}{4k_1}+\frac{e^{-k_2a}\sin(k_1a)}{2k_2}}} \\ \ \ \ D=\frac{e^{k_2a}\sin(k_1a)}{\sqrt{\frac{a}{2}-\frac{\sin(2k_1a)}{4k_1}+\frac{e^{-k_2a}\sin(k_1a)}{2k_2}}}$$ Как видите, ограничений на значения нет. $k_1$и $k_2$может взяться. Любое значение между $0$и $V_0$дает разумный ответ.

Следовательно, мы должны заключить, что пренебрегая условием гладкости на границе в 3D,$l=0$случай неприемлем, потому что это дает принципиально иной ответ, чем тот, который был получен, когда гладкость не игнорировалась. Более того, от задачи требуется гладкость, и этот факт выводится математически (как показано выше).

Во-первых, нормализация не является условием фиксации константы . Уравнение Шёдингера является линейным уравнением, поскольку его решения образуют линейное пространство — гильбертово пространство. Физическое состояние — это эквивалентный класс векторов в гильбертовом пространстве, где два вектора принадлежат одному и тому же классу, если они отличаются только ненулевым постоянным комплексным числом. И ясно, что нормированные волновые функции не образуют линейного пространства, они фактически являются лишь представителем (классом) эквивалентного класса с неоднозначностью фазы. На самом деле нормализованное состояние не является обязательным компонентом квантовой механики, потому что мы всегда можем определить ожидаемое значение как

$$\begin{equation} \langle O \rangle = \frac{\langle \psi| O |\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle} \end{equation}$$ тем не менее нормализация удобна в практическом расчете.

(В следующем утверждении мало оригинальности, я просто уточняю раздел 8.4 ссылки [1] для контекста этой проблемы. Спасибо, ОП, вы меня чему-то научили.)

Однако важна нормализуемость (по крайней мере, для связанных состояний). Физически полная вероятность присутствия этой частицы во всем пространстве в связанном состоянии равна$1$по определению. Математически мы требуем, чтобы физические наблюдаемые были самосопряженными операторами относительно некоторого (взвешенного) скалярного произведения (например, вес равен$r^2 \sin \theta$в сферических полярных координатах). Итак, для уравнения Лапласа в 3d, когда собственное значение равно$0$

$$\begin{equation} -\frac{1}{r^2} \frac{d }{d r} (r^2 \frac{d\psi}{dr}) + \frac{l(l+1)}{r^2}\psi = 0 \end{equation}$$ для $l \ne 0$, решение $\psi = r^{-(l+1)}$следует исключить, так как он не нормализуется вблизи $r=0$. И в этом случае нет граничного условия при $r=0$необходим.

Вещи становятся интересными, когда$l=0$. Два решения$1$и$\frac{1}{r}$все нормализуемы вблизи$r=0$. Их поведение вокруг$r=0$не имеет отношения к собственному значению. В общем случае два независимых нормализуемых решения равны$j_0(kr)$и$n_0(kr)$имеют те же расширения, что и$k=0$,

$$\begin{equation} j_0(kr) \sim 1 \quad -k n_0(kr) \sim \frac{1}{r} \end{equation}$$

Проблема возникает здесь из-за того, что$r=0$является особой точкой этого дифференциального уравнения, где коэффициенты ОДУ определены некорректно. Моя личная точка зрения состоит в том, что преобразование декартовой координаты в сферическую полярную координату сингулярно при$r =0$и мы как-то теряем там информацию! Способ восстановления поврежденного фрагмента заключается в обеспечении граничного условия . Тем не менее, это граничное условие не является полностью произвольным: мы требуем, чтобы это граничное условие, связанное со скалярным произведением, делало гамильтониан самосопряженным (математический псевдоним эрмитова) оператором. Теорема Вейля систематически решает этот вопрос: решение этого случая (предельного круга) состоит в том, что мы задаем граничное условие в$r=0$быть

$$\begin{equation} \psi \sim A(1 + \frac{a_s}{r} ) \end{equation}$$ где $a_s$называется длиной рассеяния и может быть определена экспериментально. Как указал Джеффри, физический смысл этого параметра в том, что он имитирует дельта-потенциал (см. псевдопотенциал ) . $\nabla \frac{1}{r}= -4\pi \delta(r)$в центре, куда не может добраться наше дифференциальное уравнение. Дельта-функция, как и граничное условие, в некотором смысле восстанавливает информацию, отсутствующую при преобразовании. Итак, если мы игнорируем $n_0$ветвь, указав $a_s =0$, это просто потому, что мы верим, что на самом деле в центре нет потенциала, что было очевидным фактом до преобразования координат.

И да, размерность определенно имеет решающее значение. Для$n$-мерный радиальный оператор Лапласа

$$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{g}} ( \sqrt{g} \psi^{i} )_{,i} = \frac{1}{r^{n-1}} \frac{\partial}{\partial r}(r^{n-1} \frac{\partial}{\partial r}\psi) \end{equation}$$ даже если $l=0$, одно из решений $\psi = r^{-(n-2)}$становятся ненормализуемыми, когда $n\ge 4$. Таким образом, когда размер больше, чем $4$, можно полностью игнорировать взаимодействие точек в центре, не нарушая решения, какой бы силой оно ни обладало. Говорят, что это не имеет отношения к теории.

[1]: Математика для физики: экскурсия для аспирантов, Майкл Стоун, Пол Голдбарт.

Вы получили другие ответы, поэтому я хотел бы сосредоточиться на общей проблеме необходимой регулярности решений уравнения Шредингера . Точнее: зачем требовать условия регулярности на$\psi$вы читали в других ответах?

Это можно проследить до одной из самых важных аксиом КМ: наблюдаемые являются самосопряженными операторами. Причина этого требования состоит в том, что самосопряженные наблюдаемые допускают спектральное разложение в терминах ортогональных проекторов, помеченных (борелевскими) подмножествами$R$интерпретируется как множество результатов измерения наблюдаемого. (Можно ослабить требование, относящееся к разложениям ограниченных положительных операторов, но я придерживаюсь здесь только элементарного случая.)

В нашем случае релевантной наблюдаемой является гамильтонова. Но ради простоты я намерен сосредоточиться на импульсе , наблюдаемом вдоль$k$ось:$M_k$. Обычно предполагается, что:

$$M_k := -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_k}\:,\qquad (0)$$

где, например, домен${\cal D}(M_k)$является$C_0^\infty(R^3)$из$\cal S(R^3)$(пространство Шварца), дальнейшее от этого выбора не зависит.

Это правда, что если$\psi,\phi \in {\cal D}(M_k)$затем:

$$\langle \psi| M_k \phi \rangle = \langle M_k\psi | \phi \rangle\:.$$

Действительно, это тождество говорит только о том, что$M_k$симметричен (плотно определенный оператор симметричен, если в своей области определения он совпадает с сопряженным оператором) . Однако не говорится, что$M_k$является самосопряженным. Вместо этого самосопряженное условие (подразумевающее существование спектрального разложения):

$$M_k^\dagger = M_k\:. \qquad (1)$$

Выше$M^\dagger$определяется следующим образом. Первый определяет свой домен:

$${\cal D}(M^\dagger_k) := \left\{\psi \left.\in L^2(R^3) \:\right|\: \exists \psi' \in L^2(R^3)\qquad \mbox{with}\quad\langle \psi' | M_k \phi\rangle = \langle \psi |\phi\rangle\quad \forall \phi \in {\cal D}(M_k)\right\}$$

С${\cal D}(M_k)$плотный,$\psi'$однозначно определяется$\psi$и таким образом карта:

$${\cal D}(M_k^\dagger) \ni \psi \mapsto \psi' =: M_k^\dagger \psi$$

хорошо определен. Легко видеть, что${\cal D}(M_k^\dagger)$является подпространством$L^2(R^3)$с${\cal D}(M_k^\dagger) \supset {\cal D}(M_k)$и что$M_k^\dagger$является линейным.

В этом случае${\cal D}(M_k^\dagger)$оказывается значительно больше, чем${\cal D}(M_k)$, так что (1) не выполняется и$M_k$не является самосопряженным с данным (стандартным) определением. Что правда, так это то, что$M_k^\dagger$, определенный, как указано выше, является самосопряженным и является единственным самосопряженным расширением$M_k$. Математически говорят, что$A$является существенно самосопряженным , когда он симметричен своему сопряженному оператору$A^\dagger$является самосопряженным$A^\dagger = (A^\dagger)^\dagger$. Поэтому$M_k$по существу является самосопряженным .

Это обсуждение приводит к выводу, что истинное определение оператора импульса не (0), а:

$$P_k = M^\dagger_k\:.$$

Однако важно подчеркнуть, что наивное, технически неверное определение (0) однозначно определяет$P_k$, так как это единственное самосопряженное расширение$M_k$. С последним очень просто обращаться, потому что это дифференциальный оператор. Наоборот$P_k$имеет область, которую гораздо сложнее охарактеризовать (без использования преобразования Фурье). Домен$P_k$состоит из функций$\psi$в$L^2(R^3)$которые признают слабость$k$-производная , которая, в свою очередь, является функцией$L^2(R^3)$. Один говорит, что$\psi \in L^2(R^3)$признает слабый$k$производная$\phi_k : R^3 \to C$, если есть функция - упомянутая$\phi_k$- такой, что

$$\int_{R^3} \frac{\partial f}{\partial x_k} \psi \:d^3x = - \int_{R^3} f \phi_k \:d^3x \quad \forall f \in C_0^\infty(R^3)\:.$$

Вы видите, что если$\psi$признает стандарт$k$-производная совпадает со слабой (поэтому и существует в данном случае). Однако существует множество функций, допускающих слабые производные, нигде не дифференцируемые!

Перейдем к проблеме оператора Гамильтона. Оператор Гамильтона в математически наивной версии для нерелятивистской теории всегда включает добавленную часть, пропорциональную оператору Лапласа$\Delta$. Собственно говоря, для$a := -\hbar^2/(2m)$и для некоторой функции$V: R^3 \to R$наивный гамильтонов оператор:

$$A := a \Delta + V\:,$$

с доменом${\cal D}(A)$состоящая из достаточно дифференцируемых функций.

Опять же, можно быть уверенным, что$A$является самосопряженным для использования всех спектральных технологий, но, как и прежде$A$не является. Максимум, при тщательном выборе домена${\cal D}(A)$, Оператор$A$оказывается существенно самосопряженным. А именно,$A^\dagger$является самосопряженным, и истинный наблюдаемый гамильтониан можно с уверенностью определить как:

$$H := A^\dagger\:.$$ Как и прежде, правильный домен (а вариантов может быть много!) включает в себя слабые производные: $\Delta$следует интерпретировать с использованием (вторых) слабых производных вместо стандартных производных. Таким образом, класс функций, которые следует учитывать при решении таких задач, как нахождение собственных значений $H$(энергии стационарных состояний) или другие проблемы, такие как определение состояний рассеяния, представляют собой широкий класс обычно недифференцируемых функций.

Это еще не все, потому что, в отличие от оператора импульса, наличие$\Delta$в$A$упрощает задачу ввиду известных результатов об эллиптической регулярности . Основные результаты (принадлежащие Вейлю, Фридрихсу и Соболеву) при соответствующих гипотезах устанавливают, что если функция (фактически распределение) в$R^n$проверяет уравнение типа

$$\Delta f = g\:,$$ где$\Delta$интерпретируется в слабом смысле , то степень слабой дифференцируемой регулярности $f$это что из $g$ плюс$2$. Более того, если $f$(предположительно локально $L^2$) имеет определенную степень $k$слабой регулярности , она имеет и другую степень $k' = k-p$стандартной регулярности , где $p>0$это число, зависящее от $n$. (Чтобы написать строгое утверждение, я должен ввести несколько математических понятий, чего я не буду делать для простоты, так как я просто хочу дать представление об основном рассуждении).

С учетом этого результата оказывается, что, например, если$\psi \in {\cal D}(H)= {\cal D}(A^\dagger)$является собственным вектором$H$, так что

$$-a\Delta_w \psi = (E-V) \psi \quad \mbox{where $\Delta_w$ is the weak Laplacian}\:,$$

затем$\psi \in C^\infty$где$V$это так.

Эти процедуры и результаты приводят к точной теореме о математических требованиях к функции$\psi$который остается в сфере$H$и, если это так, решает собственное или обобщенное уравнение на собственные значения. Теорема учитывает тот факт, что истинный самосопряженный оператор Гамильтона не является дифференциальным оператором$A$, но является его уникальным самосопряженным расширением$A^\dagger$.

Теорема рассматривает оператор вида:

$$A = a \Delta + V$$

где$V: R^3 \to R$имеет форму для$N$реальные константы$g_k$и соответствующие изолированные точки${\bf x}_k$:

$$V({\bf x}) = \sum_{j=1}^N \frac{g_k}{|{\bf x}-{\bf x_j}|} + V_0({\bf r})\:,$$

$V_0$ограничена снизу, расходится не более чем полиномиально при$|{\bf x}|\to +\infty$и это непрерывная функция, за исключением конечного числа 2-поверхностей$\Sigma_i$где разрывы конечны. С помощью этих гипотез можно установить, что$A$по существу является самосопряженным на${\cal D}(A)= C_0^\infty(R^3)$или${\cal D}(A)={\cal S}(R^3)$с тем же уникальным самосопряженным расширением$H= A^\dagger$в обоих случаях. Домен$H$намного больше, чем эти пространства, и включает в себя функции, которые, таким образом, не допускают правильных вторых производных во всем$R^3$.

Оказывается, функции (распределения в обобщенном случае)$\psi : R^3 \to C$который можно использовать для решения собственной или обобщенной проблемы собственных значений для истинного гамильтониана $H := A^\dagger$необходимо проверить следующие требования (в дополнение к проблеме собственных значений):

1) вдали от особенностей$V$,$\psi$является$C^2$и решает уравнение на собственные значения, интерпретируя$\Delta$как собственный дифференциальный оператор;

2) пересечение особых поверхностей$\Sigma_i$, если${\bf y}\in \Sigma_i$, функция$\psi$удовлетворяет

$$\lim_{{\bf x} \to {\bf y}^+}\psi({\bf x})= \lim_{{\bf x} \to {\bf y}^-}\psi({\bf x})$$ где два предела вычисляются из двух полупространств, разделенных $\Sigma$вокруг ${\bf y}$и аналогично: $$\lim_{{\bf x} \to {\bf y}^+}{\bf n}\cdot \nabla\psi({\bf x})= \lim_{{\bf x} \to {\bf y}^-}{\bf n}\cdot \nabla \psi({\bf x})$$ где ${\bf n}$- единичный вектор нормали к $\Sigma_i$в ${\bf y}$;

3) Если${\bf x}_k$является изолированной особой точкой для$V$, предел$\psi$для${\bf x} \to {\bf x}_k$существует и конечен.

Работа с подлинным$1D$систем можно найти аналогичные требования к разрешенным волновым функциям.

Принимая во внимание приведенные выше результаты, вы можете понять, почему, например, волновая функция в$R^3$не должны расходиться в начале координат: это не что иное, как требование (3) выше или даже следствие требования (1), когда$V$регулярно в${\bf r}=0$. По этой причине$\psi(r) \sim r^{-1}\cos (kr)$для$r\to 0$не могут быть приняты, даже если соответствующие$1D$волновая функция$r\psi(r)$в принципе разрешено. Сравнение с$1D$и$3D$случай, основанный на замене$\psi(r) \to r\psi(r)$носит формальный характер и может использоваться только вне сингулярностей, а что разрешено или запрещено пересечение сингулярности нужно обсуждать отдельно, помня об истинной природе проблемы:$3D$или$1D$. Заметим также, что для свободной частицы принятое решение для$\ell=0$:

$$\psi({\bf x})= A\frac{\sin (kr)}{r}$$ в соответствии с (1) есть $C^2$(более сильно она вещественно-аналитическая), а не только ограниченная в окрестности ${\bf x}=0$, включая этот пункт. На самом деле нет никакой особенности в ${\bf x}=0$для свободной частицы, поскольку $V\equiv 0$в этом случае кажущаяся сингулярность возникает только из-за использования полярных координат.