Квазиэнергетический спектр Флоке, непрерывный или дискретный?

В стационарном уравнении Шредингера мы можем иметь непрерывный или дискретный спектр. Как насчет квазиэнергий Флоке?

Вы можете иметь оба. В каком-то смысле показать это тривиально, поскольку любой постоянный гамильтониан также является периодическим, но, вероятно, вам нужны еще физические примеры, так что вот два.

• Для непрерывного спектра начните с нерелятивистской свободной заряженной частицы и добавьте колеблющееся однородное электрическое поле, так что гамильтониан

  $$\hat H(t)=\frac12\hat p^2+\hat x\,E_0\cos(\omega t).$$ Самыми чистыми решениями являются состояния Волкова.$|\Psi_p(t)⟩$, представляющие собой плоские волны с каноническим импульсом$p$но кинематический импульс$p+A(t)=p+\tfrac{E_0}{\omega}\sin(\omega t)$которое следует за векторным потенциалом поля, т.е. $$⟨x|\Psi_p(t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac i2\int^t(p+A(\tau))^2\mathrm d\tau}e^{i(p+A(t))x}.$$ (Константы по модулю и знаки, которые вы должны проверить сами.) Состояния Волкова - это состояния Флоке с квазиэнергией $$\varepsilon_p=\frac{p^2}{2}+U_p=\frac{p^2}{2}+\frac{E_0^2}{4\omega^2},$$ где$U_p$— пондеромоторный потенциал поля, т. е. средняя энергия колебательного движения. Они также являются полным набором, с$\int |\Psi_p(t)⟩⟨\Psi_p(t)|\mathrm dp=1$и$⟨\Psi_p(t)|\Psi_{p'}(t)⟩=\delta(p-p')$, что хорошо, но это также означает, что они не являются единственным возможным базисом Флоке, как любая линейная комбинация$|\Psi_p(t)⟩$и$|\Psi_{\pm\sqrt{p^2+2n\omega}}(t)⟩$,$n\in\mathbb Z$, также является состоянием Флоке. Таким образом, многообразие Флоке представляет собой либо один большой континуум, либо несколько перекрывающихся континуумов, которые эквивалентны с учетом обычного вырождения лестницы Флоке.

• Для дискретного спектра просто возьмите любое конечномерное начальное гильбертово пространство$\mathcal{H}$и добавить любой периодический гамильтониан$H(t)=H(t+T)$. Тогда квазиэнергии$\varepsilon$(точнее, возведенная в степень форма$e^{i\varepsilon T}$) — собственные значения однопериодного пропагатора$U(t_0+T,t_0)$на любое время начала$t_0$, где пропагатор подчиняется$i\partial_t U(t,t')=H(t)U(t,t')$и$U(t,t')=1$. С$U(t_0+T,t_0)$является оператором на конечномерном$\mathcal H$, он может иметь только дискретный набор собственных значений.

  Я слышу, как вы ворчите и говорите, что это жульничество и что нужно взять «естественную» задачу с дискретным спектром и показать, что ее квазиэнергии Флоке все еще дискретны. Некоторые примеры такого рода см., например, в Commun. Мат. физ. 177 нет. 2, 327 (1996) .

Вы можете думать об энергии Флоке так же, как о состоянии Блоха. В последнем случае, поскольку пространство периодично, импульсные состояния повторяются на каждом векторе обратной решетки,$\textbf{G}$. Для состояния Флоке, поскольку время периодично, энергетические состояния повторяются каждые$n\hbar \omega$где$n$является целым числом и$\hbar \omega$зависит от времени,$\tau$(где$\tau$в эксперименте — время между лазерными импульсами).

Вот изображение из прилагаемой статьи на случай, если вы не можете его просмотреть, но я настоятельно рекомендую прочитать приведенную ниже статью, если вас интересуют состояния Флоке. Вы можете видеть (едва) на изображении ниже, что конус Дирака (который был выбран в качестве изучаемой здесь системы без особых причин) повторяется при нескольких значениях$\hbar \omega$выше и ниже «настоящего» конуса Дирака на$n=0$. Вы можете увидеть$n=1$,$n=2$, и$n=-1$заявляет довольно ясно.

См. документ здесь:

https://www.sciencemag.org/content/342/6157/453?related-urls=yes&legid=sci;342/6157/453