Когда подпространство операторов является оболочкой операторов Крауса?

Позволять А и Б — конечномерные гильбертовы пространства, и пусть л ( А → Б ) — пространство линейных операторов из А к Б . Скажем, что подпространство К ⊆ л ( А → Б ) является промежутком операторов Крауса , если существуют операторы { К я } такой, что ∑ я К я † К я "=" я и К "=" охватывать я { К я } .

Эквивалентно, К является оболочкой операторов Крауса, если существует вспомогательное гильбертово пространство С и изометрия Дж : А → Б ⊗ С такой, что К "=" охватывать | ψ ⟩ е С { ( я ⊗ ⟨ ψ | ) Дж } .

Существуют ли нетривиальные (и, надеюсь, простые) необходимые и достаточные условия для операторного подпространства К быть пролетом операторов Крауса? Единственное необходимое условие, которое я могу придумать, это то, что я е К † К "=" охватывать { Икс † у : Икс е К , у е К } , но этого недостаточно.

Из любопытства, а почему вы просили миграцию из МО? Это больше похоже на вопрос МО...
Я поэтому и спросил изначально там. Но это имеет отношение к квантовой информации, теме, которая охватывает сайты по математике, теории и физике. Хотя многие QI-люди подписаны на все три сайта, физика, кажется, имеет большую аудиторию. Вопрос сам по себе является математическим, но люди QI обладают интуицией в картах, сохраняющих трассировку, и операторах Крауса.
Что ж, удачи, хотя я подозреваю, что вы могли бы быть лучше в теории, так как у них может быть больше более абстрактных отбивных, необходимых для этого. В любом случае, я думаю, что это ценный вопрос для всех трех (четырех?) сайтов, поэтому я бы рекомендовал разумный перекрестный постинг вместо скачкообразной миграции.

Ответы (1)

Рассмотрим пространство охватывать Дж { л Дж } с { л Дж } линейно независимы. Это диапазон операторов Крауса, если его можно записать как охватывать я { К я } с К я операторы Крауса. Это возможно тогда и только тогда, когда существует множество операторов Крауса { К я } такой, что К я "=" ∑ Дж Ф я Дж л Дж для некоторой матрицы Ф при полной поддержке (т. Ф † Ф обратимый). Применяя условие замыкания для операторов Крауса, это становится ∑ я К я † К я "=" ∑ я Дж Дж ′ ( Ф я Дж ′ л Дж ′ ) † ( Ф я Дж л Дж ) "=" я , эквивалентно ∑ Дж Дж ′ ( Ф † Ф ) Дж ′ Дж л Дж ′ † л Дж "=" я . Итак, мы ищем положительно определенную матрицу. М такой, что ∑ Дж Дж ′ М Дж ′ Дж л Дж ′ † л Дж "=" я . Тогда задача сводится к нахождению положительно определенного оператора, удовлетворяющего аффинному ограничению. Обратите внимание, что это эквивалентно нахождению положительно определенного оператора, перпендикулярного пространству охватывать { ∑ Дж Дж ′ Тр ( Икс л Дж ′ † л Дж ) * | Дж ′ ⟩ ⟨ Дж | : Тр ( Икс ) "=" 0 } .

Если же кого-то вместо этого интересует, охватывать { л Дж } содержит диапазон операторов Крауса, затем ищите ненулевые положительно полуопределенные операторы М а не положительно определенные операторы.

К сожалению, я не знаю вычислительной сложности нахождения положительного (полу)определенного оператора, лежащего в подпространстве. Однако решатель SDP должен найти такой оператор PSD (или справку о его отсутствии) для непатологических случаев.

Когда подпространство операторов является оболочкой операторов Крауса?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v