Получите унитарную матрицу для ворот Тофолли

Эти ворота - так называемые ворота Тоффоли. Его матричное представление задается следующей матрицей:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

. Легко понять, почему, поскольку ворота должны отображаться на карте.$|110\rangle$к$|111\rangle$,$|111\rangle$к$|110\rangle$, и он должен оставить без изменений остальные элементы вычислительной базы.

Я не знаю, поможет ли это, но эту матрицу также можно записать как

$$M_0 \otimes I_4 + M_1 \otimes I_2 + M_2 \otimes X$$

, где$M_0$является

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

,$M_1$является

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

, и$M_2$является

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ .

Вот трюк в Quirk (инструмент, который вы использовали для создания скриншота), который покажет вам матрицу для любой операции или комбинации операций. Этот прием основан на двойственности состояния канала .

1. Подготовьте количество пар ЭПР, равное количеству кубитов в вашей схеме. Поместите одну половину каждой пары ЭПР в группу вверху, а остальные — внизу в том же порядке. Вы можете сделать это с помощью группы вентилей H+CNOT или чуть быстрее с помощью одного блока QFT+ADD.

2. Примените вентили из исходной схемы к нижней половине этой большей схемы.

3. Посмотрите на дисплей выходной амплитуды. Это унитарная матрица схемы! (На самом деле это только пропорционально матрице, но это так же хорошо.)

Вот матрица для вашей схемы в Quirk с помощью этого трюка :

А матрица для вашей схемы на самом деле

$$\begin{bmatrix} &&&1 \\ &&1\\ &1\\ &&&&1\\ &&&&&&&1\\ &&&&&&1\\ &&&&&1\\ 1 \end{bmatrix}$$

(Примечание: результат зависит от вашего соглашения об упорядочении состояний вычислительной базы относительно кубитов. Я предполагаю, что верхний кубит является наименее значимым относительно порядка.)

Если вы поиграете со схемой в Quirk, показывая матрицу, очень быстро станет очевидным, как строить матрицы.

Простая формула, основанная на определении ворот тофолли.

Определение. Если два кубита одновременно находятся в активном состоянии, переверните третий кубит, а в других конфигурациях ничего не делайте.

Математически-

$$\begin{equation}|\uparrow_1\uparrow_2\rangle\langle\uparrow_1\uparrow_2|\otimes\sigma_x + |\uparrow_1\downarrow_2\rangle\langle\uparrow_1\downarrow_2|\otimes I+|\downarrow_1\uparrow_2\rangle\langle\downarrow_1\uparrow_2|\otimes I+|\downarrow_1\downarrow_2\rangle\langle\downarrow_1\downarrow_2|\otimes I\end{equation}$$

где$\sigma_x$является$x$-Матрица Паули и$I$является$2\times2$Единичная матрица.

Активное состояние для кубита один$|\uparrow_1\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$

Неактивное состояние для кубита один$|\downarrow_1\rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$

Активное состояние для второго кубита$|\uparrow_2\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$

Неактивное состояние для второго кубита$|\downarrow_2\rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$

$|\uparrow_1\uparrow_2\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$

и$|\uparrow_1\uparrow_2\rangle\langle\uparrow_1\uparrow_2| = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}$

Точно так же вы можете построить другие термины.

Окончательно,

$|\uparrow_1\uparrow_2\rangle\langle\uparrow_1\uparrow_2|\otimes\sigma_x + |\uparrow_1\downarrow_2\rangle\langle\uparrow_1\downarrow_2|\otimes I+|\downarrow_1\uparrow_2\rangle\langle\downarrow_1\uparrow_2|\otimes I+|\downarrow_1\downarrow_2\rangle\langle\downarrow_1\downarrow_2|\otimes I$"="

$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}$"="$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}$

Другое определение «если два кубита одновременно находятся в выключенном состоянии, то переверните третий кубит и ничего не делайте в других конфигурациях» в равной степени справедливо. У вас даже есть выбор, чтобы выбрать$\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$как нерабочее состояние. Вы можете поэкспериментировать с этими соглашениями и найти разные способы написания tofolli gate, которые одинаково допустимы.