Какая форма ворот фазового сдвига является правильной?

Если вы хотите поэтапно$|1\rangle$состоянии на 180 градусов (т.е. на пол-оборота) относительно$|0\rangle$состояние, то операция, которую вы хотите:

Потому что$\pi$составляет пол-оборота в радианах.

Крейг Гидни уже дал ответ на вашу главную проблему. Я отвечу на второй: какова связь между двумя матрицами. Вы знаете, что косинус и синус$2\pi$периодическое значение$\cos(x+2\pi k) = \cos(x)$и$\sin(x) = \sin(x+2\pi k)$для любого целого числа$k$. Таким образом, функция повторяется каждый период, что в стандартном случае$2\pi$длинный. Дальше$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Поскольку обе функции$2\pi$периодические и мы только добавляем их,$e^{i\theta}$это также$2\pi$периодический. Этот$e^{2\pi i\theta}=e^{i\theta}$. Итак, две матрицы равны.

Было бы полезно, если бы вы разместили ссылку квантиков в своем посте, я не понимаю, почему кто-то должен писать первую форму. На квантиках нашел только вторую форму https://www.quantiki.org/wiki/basic-concepts-quantum-computation