Построение произвольного 2-кубитного состояния

Я читаю книгу о квантовых вычислениях. Автор строит произвольное 2-кубитное состояние из унитарных преобразований. Мне нужна помощь в понимании на шаг в его логике.

Он начинает с того, что отмечает, что общее 2-кубитное состояние имеет вид

$$|\Psi\rangle = a_{00}|00\rangle + a_{01}|01\rangle + a_{10}|10\rangle + a_{11}|11\rangle$$

Это также можно записать как:

$$|\Psi\rangle = |0\rangle \otimes |\psi\rangle + |1\rangle \otimes |\phi\rangle$$ $$|\psi\rangle = a_{00}|0\rangle + a_{01}|1\rangle$$ $$|\phi\rangle = a_{10}|0\rangle + a_{11}|1\rangle$$

Все идет нормально. Далее автор говорит применять$\textbf{u} \otimes \textbf{1}$к$|\Psi\rangle$, где$\textbf{u}$представляет собой линейное преобразование, действие которого на вычислительную основу имеет вид:

$$\textbf{u}|0\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle, \quad \textbf{u}|1\rangle = -b^*|0\rangle + a^*|1\rangle; \quad |a|^2 + |b|^2 = 1$$

Автор этого не утверждает, но я предполагаю$a,b \in \mathbb{C}$и$a^*$и$b^*$комплексные сопряжения$a$и$b$соответственно. Также не указано, но я предположил, что$\textbf{u}$это$2x2$матрица и$\textbf{1}$это$2x2$личность.

Теперь идет часть, которую я не понимаю. Автор заявляет:

$$(\textbf{u} \otimes \textbf{1})|\Psi\rangle = (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |\psi\rangle + (-b^*|0\rangle + a^*|1\rangle) \otimes |\phi\rangle$$

Для того, чтобы вышеизложенное было правдой, казалось бы, что

$$(\textbf{u} \otimes \textbf{1})|\Psi\rangle = \textbf{u} |0\rangle \otimes |\psi\rangle + \textbf{u}|1\rangle \otimes |\phi\rangle$$

Но я не понимаю, почему.