Почему оператор проектирования, соответствующий M~M~\tilde M, задается как Pm⊗IBPm⊗IBP_m\otimes I_B?

Таким образом, если$P_m$это проектор на$m$собственное пространство наблюдаемой$M$

Позволять$\left|m_1\right> \ldots \left|m_n\right>$быть основой$m$собственное пространство наблюдаемой$M$. Это означает, что любое государство$\left|\psi_m\right>$которое является собственным состоянием$M$то есть:

$$M\left|\psi_m\right>=m\left|\psi_m\right>$$ можно записать как: $$\left|\psi_m\right>=\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>$$ для некоторых констант $\alpha_i$.

Теперь рассмотрим общее состояние$\left|\psi\right>$что можно записать как:

$$\left|\psi\right>=\sum_n\sum_i \alpha_{n,i}\left|n_i\right>$$ здесь $n$обозначает собственное значение, связанное с $M$и сумма $i$является суммой по всем ортонормированным состояниям с этим собственным значением. Оператор проектирования действует следующим образом: $$P_M\left|\psi\right>=\frac{1}{\sqrt{\sum_i|\alpha_{m,i}|^2}}\sum_i\alpha_{m,i}\left|m_i\right>$$
где множитель впереди является множителем нормализации.

Здесь вы можете видеть, что мы только что сохранили состояния с собственным значением$m$.

затем соответствующий проектор для$\tilde M$является$P_m \otimes I_B$. Поэтому у нас есть

Назовем этот соответствующий проектор$\tilde P_m$. Тогда нам нужно спросить себя; каково действие$\tilde P_m$?

Ну, мы определяем его как проектор, который проецирует общий кет:

$$\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>$$ на $m$собственное пространство наблюдаемой $M\otimes I_B$.

Для обычного оператора$A\otimes B$действие на общее состояние:

$$(A\otimes B)(\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>)=(A\left|\psi_A\right>)\otimes (B\left|\phi_B\right>)$$ Итак, в нашем случае имеем следующее: $$(M\otimes I_B)(\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>)=(M\left|\psi_A\right>)\otimes (I_B\left|\phi_B\right>)$$ Тогда должно быть очевидно, что $m$собственное пространство $M\otimes I_B$принимает форму: $$(\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$$ где $\left|\phi_B\right>$есть ли кет в $B$. С того времени: $$(M\otimes I_B)(\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=(\sum_i \alpha_i M\left|m_i\right>)\otimes (I_B\left|\phi_B\right>)=(\sum_i \alpha_i m\left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=m(\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$$ Как и раньше, мы можем записать произвольное состояние как: $$(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$$ и по определению нам нужно: $$\tilde P_m(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=(\sum_i \alpha_{m,i} \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$$ Итак, рассмотрим действие $P_m \otimes I_B$ $$(P_m \otimes I_B)(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=(P_m\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes I_B\left|\phi_B\right>$$ $$=(\sum_i \alpha_{m,i} \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$$ где мы использовали действие $P_m$как найдено выше. Теперь это верно для всех векторов в $\tilde M$так как мы везде используем общие векторы. Таким образом, мы должны иметь это: $$\tilde P_m=(P_m \otimes I_B)$$

tl;dr Версия

Действие$(P_m \otimes I_B)$на общее состояние в$\tilde M$является:

$$(P_m \otimes I_B)(\left|\psi_A\right>\otimes\left|\phi_B\right>)=P_m\left|\psi_A\right>\otimes I_B\left|\phi_B\right>$$ $$\left|\psi_A^m\right>\otimes \left|\phi_B\right>$$ где $\left|\psi_A^m\right>$является проекцией $\left|\psi_A\right>$на $m$собственное пространство $m$. Это по определению действие соответствующего оператора в $\tilde M$и как таковой $(P_m \otimes I_B)$это оператор.