Когда работает «наивное» квантование классических ограничений?

Question

Когда работает «наивное» квантование классических ограничений?

Кнчжоу

Рассмотрим общековариантную формулировку релятивистской точечной частицы, где конфигурация определяется выражением $x^\mu(\tau)$ , и $\tau$ произвольный параметр. В гамильтоновой картине канонические импульсы $p_\mu$ сдерживаются, подчиняются

п^{2} + м^{2} "=" 0.

$p^2 + m^2 = 0.$ Это ограничение первого класса, соответствующее калибровочной симметрии, ограничений второго рода нет. Затем мы квантуем с помощью обычных скобок Пуассона, получая операторы

[{\hat{Икс}}^{мю}, {\hat{п}}_{ν}] "=" я ℏ {дельта}_{ν}^{мю} .

$[\hat{x}^\mu, \hat{p}_\nu] = i \hbar \delta^\mu_\nu.$ В конспектах лекций здесь и здесь утверждается, что ограничение накладывается как операторное уравнение на физические состояния

({\hat{п}}^{2} + м^{2}) | ψ ⟩ "=" 0.

$(\hat{p}^2 + m^2) |\psi\rangle = 0.$ Это имеет смысл, потому что это просто говорит о том, что волновые функции подчиняются уравнению Клейна-Гордана, но я не понимаю, почему эта процедура работает или насколько она универсальна. Например, это определенно не работает для КЭД в калибровке Лоренца, потому что

\partial_{мю} А^{мю} | Ψ ⟩ "=" 0

$\partial_\mu A^\mu | \Psi \rangle = 0$ является слишком строгим. Может ли кто-нибудь объяснить, почему ограничения первого класса могут быть наложены описанным выше методом? Как часто это работает и почему это не работает для QED? (Я предполагаю, что здесь можно многое сказать, поскольку существует множество очень мощных методов квантования, но я надеюсь, что есть что-то относительно элементарное, что может прояснить мою путаницу.)

Слереа

\partial^{μ} A_{μ} | Ψ ⟩ = 0

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ соответствует методу квантования Гупта-Блейлера для КЭД, следовательно, да, в какой-то степени он работает.

Кнчжоу

@Slereah Я думал, что состояние Гупта-Блейлера было

⟨ Ψ | \partial^{μ} A_{μ} | Ψ^{'} ⟩

$\langle \Psi| \partial^\mu A_\mu |\Psi' \rangle$ .

Слереа

Так как это верно для каждого состояния

Ψ, Ψ^{'}

$\Psi, \Psi'$ а внутренний продукт положительно определен, отсюда следует, что

\partial^{μ} A_{μ} | Ψ ⟩ = 0

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ .

Кнчжоу

@Slereah Но проблема, которую Гупта-Блейлер пытается решить в первую очередь, заключается в том, что внутренний продукт не является положительно определенным из-за нефизических состояний!

DanielC

Короче говоря, «наивное» квантование никогда не работает. Я призываю вас прочитать единственный авторитет по этому вопросу, книгу Марка Энно, глава 13.

Кнчжоу

@DanielC Я прочитал первую часть Хенно, но книга немного пугает. Я был бы признателен за резюме или простой обзор затронутых вопросов!

СлучайныйПреобразование Фурье

@Slereah Гупта-Блейлер читает

(\partial^{μ} A_{μ})^{+} | Ψ ⟩ = 0

$(\partial^\mu A_\mu)^+ |\Psi\rangle = 0$ , где "

+

$+$ " означает взять положительную частотную часть.

Ответы (1)

Когда работает «наивное» квантование классических ограничений?

$\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ соответствует методу квантования Гупта-Блейлера для КЭД, следовательно, да, в какой-то степени он работает.
@Slereah Я думал, что состояние Гупта-Блейлера было $\langle \Psi| \partial^\mu A_\mu |\Psi' \rangle$ .
Так как это верно для каждого состояния $\Psi, \Psi'$ а внутренний продукт положительно определен, отсюда следует, что $\partial^\mu A_\mu |\Psi\rangle = 0$ .
@Slereah Но проблема, которую Гупта-Блейлер пытается решить в первую очередь, заключается в том, что внутренний продукт не является положительно определенным из-за нефизических состояний!
Короче говоря, «наивное» квантование никогда не работает. Я призываю вас прочитать единственный авторитет по этому вопросу, книгу Марка Энно, глава 13.
@DanielC Я прочитал первую часть Хенно, но книга немного пугает. Я был бы признателен за резюме или простой обзор затронутых вопросов!
@Slereah Гупта-Блейлер читает $(\partial^\mu A_\mu)^+ |\Psi\rangle = 0$ , где " $+$ " означает взять положительную частотную часть.

Алекс Нельсон · Answer 1

Это в основном квантование Дирака для систем с ограничениями (в отличие от квантования с уменьшенным фазовым пространством). Квантование Дирака составляет:

преобразовать ограничения в операторы $C\to\widehat{C}$ ,
настаивать на том, чтобы физические состояния жили в ядре операторов ограничений $\mathcal{H}_{\text{phys}} = \ker(\widehat{C})$ .

(Для множественных ограничений физические состояния находятся на пересечении ядер $\mathcal{H}_{\text{phys}} = \ker(\widehat{C}_{1})\cap\dots\cap\ker(\widehat{C}_{n})$ , т. е. физические состояния должны подчиняться всем ограничениям.)

Квантование сокращенного фазового пространства сначала ограничивает фазовое пространство, удовлетворяя ограничениям, а затем квантовая. Когда это можно сделать, это обычно проще. (И подход Дирака, и подход с уменьшенным фазовым пространством дают эквивалентные результаты.)

Вы не столкнетесь с серьезными проблемами при условии, что вы не столкнетесь с какой-либо из обычных неоднозначностей порядка операторов при квантовании ограничений... при условии, что анализ ограничений был выполнен полностью (т. е. вы нашли все ограничения и т. д.) .

Известно, что в общей теории относительности гамильтоново ограничение включает в себя член, квадратичный по импульсам, который нельзя наивно квантовать, не создавая математически нечетко определенного оператора.

Чтобы узнать больше об ограничениях квантования, единственный известный мне ресурс — это « Квантование калибровочных систем» Хенно и Тейтельбойма .

Вопрос: Почему это не делается в электромагнетизме?

Ответ: Вы можете сделать это в электромагнетизме, но вам нужно быть осторожным с ограничениями, которые вы вводите. Квантовая теория поля точечных частиц и струн Брайана Хэтфилда обсуждает электромагнитную ситуацию, тщательно подсчитывая степени свободы, убиваемые различными ограничениями, и т. д.

Когда работает «наивное» квантование классических ограничений?

Кнчжоу

Слереа

Кнчжоу

Слереа

Кнчжоу

DanielC

Кнчжоу

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (1)

Алекс Нельсон

Квантование ограничений первого класса для открытых алгебр: могут ли сосуществовать эрмитовость и некоммутативность?

Гамильтонова структура электродинамики Черна-Саймонса

Задержка и сдвиг в разложении ADM

(Анти)коммутация призраков и фермионов

Алгоритм Дирака-Бергмана, не оканчивающийся в (1+1)-мерной U(1)U(1)U(1) заряженной скалярной КЭД

Связь между обращением в нуль сопряженного импульса π0π0\pi^0 и отсутствием пропагатора для свободного ЭМ поля

Гамильтониан для релятивистской свободной частицы равен нулю

Нерелятивистский лагранжиан КТП для фермионов

Сведение действия Намбу-Гото к истинным степеням свободы

Изменяют ли первичные ограничения первого класса электрическое поле в гамильтоновой форме теории Максвелла?