Связь между обращением в нуль сопряженного импульса π0π0\pi^0 и отсутствием пропагатора для свободного ЭМ поля

Калибровочные теории становятся гамильтоновыми системами со связями при переходе от лагранжиана$L(q,\dot{q},t)$к гамильтониану$H(q,p,t)$где$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$. Как правило, вы получаете гамильтонову систему с ограничениями всякий раз, когда матрица/оператор с компонентами

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^i\partial\dot{q}^j}$$ является сингулярным, т.е. необратимым, т.е. $\det(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}\partial\dot{q}}) = 0$. Как вы правильно заметили, это уже имеет место для массивного векторного поля.

Итак, давайте посмотрим на лагранжиан общего векторного поля:

$$L(A,\dot{A}) = \int (\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \mu^2 A^\mu A_\mu) \mathrm{d}^3x$$ Невзирая на $\mu$, канонические импульсы равны $$\pi^\mu = F^{\mu 0}$$ поэтому у нас есть основное ограничение ¹ $$\pi^0 \approx 0\tag{1}$$ всегда. Канонический гамильтониан читается $$H = \int (\frac{1}{2}\pi^i\pi_i - \frac{1}{4} F^{ij}F_{ij} - A_0 \partial_i \pi^i -\mu^2 A^\mu A_\mu)\mathrm{d}^3 x$$ и, для согласованности ограничения, мы берем на себя вторичное ограничение $$\dot{\pi}^0 = \{\pi^0,H\} = \partial_i\pi^i + \mu^2 A_0 \approx 0 \tag{2}$$ используя то, что единственная ненулевая скобка Пуассона $\pi_0$является $\{A_0,\pi^0\} = 1$. Природа теории теперь очень различна в зависимости от того, $\mu^2 = 0$.

Если$\mu^2\neq 0$, затем$(2)$фактически не налагает ограничений на$\partial_i \pi^i$. Решение двух ограничений означает просто положить$A_0 = -\frac{1}{\mu^2}\partial_i\pi^i$и$\pi^0 = 0$, что означает, что мы уменьшаем размерность фазового пространства на два (фактически забывая, что была пара координат$(A_0, \pi^0)$) и находятся в теории без ограничений. На этом сокращенном фазовом пространстве каноническое квантование теперь может происходить как обычно, и у нас не осталось калибровочных степеней свободы. В частности, каноническое квантование дает пропагатор, поскольку оператор обратим на оставшихся степенях свободы.

Если$\mu^2 = 0$, затем$(2)$просто закон Гаусса$\nabla \cdot \vec E = 0$с$\pi^i = F^{i0} = E^i$. Хотя в принципе возможно локально решить это ограничение и снова перейти к уменьшенному фазовому пространству (с меньшей размерностью, чем раньше), на практике это невозможно или нежелательно. Следовательно, каноническое квантование, как и для систем без ограничений, невозможно, и мы не получим пропагатор, если попытаемся его вычислить, поскольку остаются калибровочные степени свободы.

---

^{1$\approx$обозначает слабые равенства, которые выполняются на поверхности связи , но не тождественно равны нулю во всем фазовом пространстве.}

Это действительно одна и та же проблема с разных точек зрения. Глубокий источник проблемы заключается в том, что число$A_\mu$полей выше реальных физических степеней свободы. Вот несколько замечаний:

1. Оператор, который вы пытаетесь инвертировать, не имеет обратного, потому что это просто оператор проекции (вы можете проверить это прямым вычислением, квадрат оператора — это оператор единицы), он проецирует нефизические степени свободы.

2. Интуитивно понятно, что пропагатор не должен существовать без фиксации калибровки, поскольку существует множество различных$A_\mu$конфигурации, соответствующие одному и тому же физическому состоянию. Однако, как только вы (полностью) зафиксируете калибровку, пропагатор должен существовать, то есть временная эволюция свободного поля должна быть уникальной.

3. $\Pi^0$не существует, потому что не каждый компонент$A_\mu(x)$векторный потенциал соответствует физической степени свободы. Тем не менее уравнения Эйлера-Лагранжа$A_0$должны быть удовлетворены, но они не содержат производных от$A_0$, это не динамические уравнения, а ограничения.

4. Как только вы зафиксируете калибр, вы сможете решить это ограничение и использовать фактические степени свободы для квантования. Например, в осевом калибре$A_3=0$, это дает новое ограничение. Динамические степени свободы будут$A_1,A_2$и$\Pi_1,\Pi_2$. Остальные вы должны выразить через них, разрешив ограничения.

Это проблема не только канонического квантования, если вы попробуете функционально-интегральное квантование, вы столкнетесь с той же проблемой, и вам также придется исправлять quage.