Квантование ограничений первого класса для открытых алгебр: могут ли сосуществовать эрмитовость и некоммутативность?

Открытая алгебра для набора первоклассных ограничений, г а , а "=" 1 , ⋯ , р , задается скобкой Пуассона { г а , г б } "=" ф а б с [ ф ] г с классически, где структурные константы являются функциями динамических степеней свободы, ф . При квантовании калибровочной теории физическое состояние | ψ ⟩ должен удовлетворять ограничениям первого класса г ^ а | ψ ⟩ "=" 0 . Отсюда легко увидеть [ г ^ а , г ^ б ] | ψ ⟩ "=" 0 . В квантовой версии теории уравнение Пуассона должно быть заменено операторным коммутаторным уравнением. В общем, ф ^ а б с [ ф ^ ] не ездит с г ^ с . Одна из возможностей состоит в том, что правая часть уравнения для коммутатора двух ограничений упорядочена так, что ограничение г ^ с всегда находится справа в продукте оператора. Однако полученное произведение будет, вообще говоря, неэрмитовым из-за некоммутативности. Коммутатор двух эрмитовых операторов всегда антиэрмитов. Таким образом, это означает, что операторы ограничений первого класса должны быть неэрмитовыми. Если мы хотим, чтобы операторы ограничений были эрмитовыми, мы требуем [ г ^ а , г ^ б ] "=" я О ( ф ^ а б с [ ф ^ ] г ^ с ) где О является некоторой формой упорядочения операторов. Однако это упорядочение операторов, вообще говоря, будет содержать некоторые члены, которые не уничтожают | ψ ⟩ в общем потому что г ^ с не всегда будет справа. Как это обойти?

Ответы (3)

I) Давайте переформулируем вопрос OP (v1) как

Как может отшельничество 1 сохраняться для калибровочной алгебры

(1) [ г ^ а , г ^ б ]   "="   я ℏ   г ^ с   ф ^ с а б
первоклассных операторных ограничений г ^ а , если структурные операторы 2
(2) ф ^ с а б   "="   ф с а б ( д ^ я , п ^ Дж )
зависят от операторов фазового пространства д ^ я и п ^ Дж ?

(Обратите внимание, что в правой части уравнения (1) мы допускаем оператор г ^ с стоять слева от оператора ф ^ с а б . Это сделано из чисто условных соображений, чтобы следовать Ref. 1. Эта перестановка просто означает, что мы должны работать с физическими бюстгальтерами. ⟨ ψ | а не физические кеты | ψ ⟩ , что является эквивалентной формулировкой.)

II) Наше первое замечание состоит в том, что тождество оператора калибровочной алгебры (1) является всего лишь первым в (возможно, бесконечной) башне отношений согласованности операторов. Например, структурные операторы (2) должны удовлетворять якобиподобному операторному тождеству, которое, в свою очередь, включает новый набор высших структурных операторов и так далее.

Оказывается, что наиболее систематическим подходом является переработка калибровочной симметрии (1) в формализме Баталина–Фрадкина–Вилковиски (БФВ), являющемся обобщением гамильтонова метода БРСТ из теории Янга–Миллса на произвольные первоклассные 3 системы (1), даже так называемые приводимые калибровочные алгебры.

Основным объектом теории БФВ является фермионный БРСТ-оператор заряда 4

(3) Вопрос ^   "="   г ^ а   С ^ а + 1 2 п ¯ ^ с   ф ^ с а б   С ^ б С ^ а + …

что возводится в ноль

(4) Вопрос ^ 2   "="   0.

Очевидно, что для краткости нам пришлось бы опустить здесь много деталей, но упомянем, что С ^ и п ¯ ^ призраки и призраки-импульсы, которые несут призрачное число + 1 и − 1 , соответственно. Оператор заряда BRST Вопрос ^ требуется иметь призрачный номер + 1 . Калибровочная алгебра (1) кодируется как одно из первых операторных соотношений в (возможно, бесконечной) башне операторных соотношений, скрытых внутри условия нильпотентности (4).

В результате унитарность теории по существу реализуется (среди прочих условий) требованием эрмитовости БРСТ-заряда

(5) Вопрос ^ †   "="   Вопрос ^ .

уравнение (5) в значительной степени диктует, какую структуру Отшельничества/реальности следует наложить на систему. В общем, эти условия структуры эрмитов/реальности будут взаимосвязаны между операторными ограничениями первого класса г ^ а , структурные операторы (2), высшие структурные операторы и т. д., ср. Ссылка 1.

Использованная литература:

  1. Баталин И.А., Фрадкин Е.С. Операторное квантование динамических систем с ограничениями. Дальнейшее исследование конструкции, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 49 (1988) 145. Файлы в формате pdf и djvu доступны здесь .

1 В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

2 Семантическое замечание: понятие открытой калибровочной алгебры традиционно является понятием в лагранжевом формализме, где калибровочная алгебра затем выходит за пределы оболочки. В общем, на гамильтоновом языке менее просто определить, соответствует ли калибровочная система (1) открытой калибровочной алгебре в лагранжевом формализме или нет.

3 С тех пор формализм BFV получил дальнейшее развитие для работы с ограничениями второго класса.

4 Расширения Вопрос ^ с другими упорядочениями операторов (упорядочение Вейля, упорядочение Вика и т. д.) в призрачном секторе возможны, см., например, раздел 6 в [1]. 1 для получения дополнительной информации. Оператор заряда BRST Вопрос ^ в принципе может зависеть от ℏ .

Правильный ответ использует BRST. Суммируя, г ^ а в общем случае неэрмитов. Позволь мне объяснить. В BRST мы дополняем калибровочные и материальные поля призрачными полями. с ^ а , б ^ б которые удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям { с ^ а , с ^ б } "=" { б ^ с , б ^ г } "=" 0 и { с ^ а , б ^ б } "=" дельта б а . Кроме того, мы требуем, чтобы оба призрачных поля были эрмитовыми. Это означает, что фантомный сектор должен иметь неопределенную норму. Определим оператор общего числа призраков как Н ^ г час ≡ с ^ а б ^ а . Существует фермионный оператор Ом ^ с призрачным номером + 1 , эрмитова и квадратично нильпотентна Ом ^ 2 "=" 0 .

Расширять Ом ^ как

Ом ^ "=" с ^ а г ^ а + 1 2 ! с ^ а с ^ б б ^ с ф ^ а б с + 1 3 ! 2 ! с ^ а с ^ б с ^ с б ^ г б ^ е ф ^ а б с г е + …
где г ^ , ф ^ операторы не содержат фантомных факторов. Важно заметить, что ( с ^ а с ^ б б ^ с ) † "=" − с ^ а с ^ б б ^ с − дельта с а с ^ б + дельта с б с ^ а . Итак, условие Ом ^ † "=" Ом ^ переводится в бесконечное множество отношений, начинающихся с
г ^ а "=" г ^ а † − 1 2 ф ^ б а б † + 1 2 ф ^ а б б † + … .
Во всяком случае, вы видите ограничения г ^ а вообще уже не эрмитовы.

Физическое состояние удовлетворяет Ом ^ | ψ ⟩ "=" 0 . Если это состояние имеет нулевое число призраков, это сводится к ограничению первого класса. г ^ а | ψ ⟩ "=" 0 .

Интересно наблюдать за частным случаем квантовой гравитации в формализме АДМ. Там у нас есть гамильтоновы ограничения и ограничения диффеоморфизма, и они образуют открытую алгебру. Если мы определим расширенный гамильтониан как ЧАС ^ * "=" ∫ г 3 Икс { б ^ ( Икс ) , Ом ^ } где б ^ ( Икс ) — оператор духов, связанный с временными диффеоморфизмами в пространственной точке Икс , то расширенный оператор Гамильтона неэрмитов! Замена его на ∫ г 3 Икс { Н ^ ( Икс ) б ^ ( Икс ) , Ом ^ } где Н ^ ( Икс ) какой-то оператор лапс-поля, фиксирующий калибровку, ничуть не меняет этого факта.

Приведенные ответы в основном сводятся к отказу от условия Эрмитовости для г ^ а . ХОРОШО. Скажем, классически скобка Пуассона имеет вид { г а , г б } "=" ф а б с г с , и после квантования мы требуем, чтобы это переводилось в [ г ^ а , г ^ б ] "=" я ф ^ а б с г ^ с с произведением оператора в правой части, взятым именно в таком порядке. Сложность в том, что только очень специфический выбор для оператора, который заказывает продукт для г ^ а может привести к такой форме упорядочения операторов в правой части. Точнее, может быть, мы должны думать об этом не как о рецепте заказа продукта, а как о конкретном выборе продукта. ℏ деформации при квантовании. В общем, для открытых алгебр будет очень трудно найти ℏ деформации с этим свойством. Как найти деформацию с этим свойством?

Квантование ограничений первого класса для открытых алгебр: могут ли сосуществовать эрмитовость и некоммутативность?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v