Изменяют ли первичные ограничения первого класса электрическое поле в гамильтоновой форме теории Максвелла?

Проблема заключается в том, что то, что мы узнаем о старой доброй динамике с ограничениями из традиционного подхода Дирака, неполно и в чем-то непоследовательно, и приведенное выше является одним из примеров этого. Это было сообщение статьи Питтса, упомянутой в вопросе выше, который рассмотрел кучу предыдущей работы по этому вопросу. Я упомяну пару ссылок из этой статьи, которые должны прояснить проблему и решить ее.

Неправильно то, что генератором калибровочного преобразования в некоторой системе с ограничениями является не изолированное ограничение первого класса , а некоторая линейная комбинация ограничений первого класса . Именно это пытается подчеркнуть упомянутая статья Питтса. Каким-то образом люди работали по инерции со времен конспектов лекций Дирака и никогда не замечали, что единственное первоклассное ограничение порождает не калибровочное преобразование, а «плохое изменение» (как называет это Питтс), как вы заявили в своей статье. вопрос. Затем в 1982 г. пришел Кастеллани и в своей статье «Симметрии в системах с ограничениями» в Annals Phys. 143, с. 357 (1982)сформулировал генератор калибровочных симметрий как четко определенную линейную комбинацию ограничений первого класса. Эта статья очень информативна, и я рекомендую ее в качестве отправной точки, когда вы начинаете с систем с ограничениями. Там он выводит алгоритм, который определяет форму калибровочного генератора, а затем он выводит калибровочные генераторы для простой игрушечной модели, для общей теории относительности и для теорий Янга-Миллса (частным случаем которых является электромагнетизм, поэтому результаты также применимы к вопросу выше). Все они представляют собой линейную комбинацию ограничений первого класса .

Также есть приятное обсуждение и, возможно, очень подробный ответ на точный вопрос, размещенный выше, в статье Понса , а также в книге Зундермейера « Симметрии в фундаментальной физике ».

Суть в том, что изолированные ограничения первого класса (первичные, вторичные или третичные...) , как правило, не генерируют калибровочные преобразования. Но каждый из них является частью калибровочного генератора, который определяется как линейная комбинация этих ограничений.

Фундаментальная проблема здесь заключается в том, что многие люди, а также Питтс в его статье, не заботятся о том, о какой теории они говорят в данный момент. «Квантование калибровочных систем» Хенно и Тейтельбойма на самом деле осторожно относится к этому, и их глава 3 показывает правильное решение этой проблемы, хотя Питтс приводит ее в качестве примера для тех, кто не понимает проблемы.

Утверждение «первоклассные ограничения генерируют калибровочные преобразования» находится в контексте расширенного действия.

$$S_E[q^i, p_i, \lambda^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^i \gamma_i\right)\mathrm{d}t,$$

где$\gamma_i$являются ограничениями первого класса,$\lambda^i$множители Лагранжа, обеспечивающие соблюдение ограничений, и для простоты мы предполагаем, что нет ограничений второго рода (как в случае с электромагнетизмом). В этой формулировке решениями уравнений движения являются кортежи$(q(t), p(t), \lambda(t))$, и симметрии действуют на все эти динамические переменные. Расширенное действие инвариантно относительно инфинитезимального локального преобразования$\delta_{\epsilon} F = \epsilon^i \{F,\gamma_i\}$для$F(q,p)$любая функция$q$и$p$только если дополнительно позволить множителям Лагранжа преобразовываться как

$$\delta_{\epsilon}\lambda^i = \dot{\epsilon}^i + {C^i}_{jk}\lambda^j\epsilon^k,$$

где$\{\gamma_i,\gamma_j\} = {C^k}_{ij}\gamma_k$. Этот набор симметрий сводится к симметриям нерасширенного (канонического) действия

$$S_C[q^i,p_i,\bar{\lambda}^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^{i'} \gamma_{i'}\right),$$ где$i'$index теперь работает только с первичными ограничениями, только после наложения калибровочных условий$\lambda^j = 0$для всех$j$где$\gamma_j$не является первичным. Именно симметрии канонического действия, а не расширенного действия, непосредственно переводятся в симметрии исходного лагранжевого действия. Остаточные калибровочные симметрии этого действия — это те, которые сохраняют условия$\lambda^j = 0$для неосновных элементов и, как правило, генерируются определенным подмножеством комбинаций ограничений первого класса, которые в других источниках называются калибровочными генераторами.

Для конкретного примера, на который жалуется Питтс, калибровочные преобразования расширенного действия свободной электродинамики таковы (см. Также главу 19 H/T):

$$\begin{align} \delta A_0 & = \epsilon^1 & \delta A_i & = \partial_i\epsilon^2 \\ \delta \lambda^1 & = \dot{\epsilon}^1& \delta\lambda^2 & = \dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1 \end{align}$$ для двух произвольных функций пространства-времени$\epsilon^1, \epsilon^2$. Сохранение калибровочного состояния$\lambda^2 = 0$навязывает$\epsilon^1 = \dot{\epsilon^2}$, поэтому у нас остается остаточная калибровочная симметрия $$\delta A_\mu = \partial_\mu \epsilon^2 \quad \delta \lambda^1 = \ddot{\epsilon}^2,$$ которое теперь имеет знакомый вид для калибровочного преобразования 4-потенциала$A_\mu$лагранжевой электродинамики.

Людей сбивает с толку то, что в расширенном формализме количество$E^i = F^{0i} = \partial^0 A^i - \partial^i A^0$, которое они хотели бы идентифицировать как электрическое поле, является калибровочно-вариантным относительно преобразований с$\epsilon^1 \neq \dot{\epsilon}^2$. Как расширенная теория может быть «верной» нашей реальной физической системе, если она превращает калибровочно-инвариантные величины в калибровочно-вариантные?

Чтобы увидеть, как, давайте проверим изменение$E^i$при произвольном преобразовании:

$$\begin{align} \delta E_i & = \partial_0 \delta A_i - \partial_i \delta A_0 \\ & = \partial_i (\dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1) \end{align}$$ Заметим, что это и есть пространственная производная поведения преобразования$\lambda^2$, так что это означает, что$E^i - \partial^i\lambda^2$является калибровочно-инвариантной наблюдаемой, которая превращается в остаточный калибровочно-инвариантный$E^i$при использовании калибровочного состояния$\lambda^2 = 0$. Таким образом, расширенная теория действительно содержит калибровочно-инвариантную наблюдаемую, то есть электрическое поле, просто ее выражение содержит вспомогательную переменную$\lambda^2$которую мы должны устранить, чтобы увидеть, эквивалентна ли эта теория лагранжевой теории, которая не знает о$\lambda^i$.