Для классических систем мы можем определить конфигурационное многообразие, кокасательное расслоение которого представляет собой импульсное фазовое пространство, снабженное замкнутой невырожденной 2-формой. На коммутативной алгебре гладких функций на кокасательном расслоении мы определяем билинейную скобку, которая наделяет множество структурой алгебры Ли. Мы говорим, что многообразие Пуассона является именно этим описанием, но регулярно расслаивается на симплектические слои (симплектические подмногообразия). Меня интересует ограниченная динамика.
Я изо всех сил пытаюсь понять, как я должен думать об этих листьях,
В тексте Арнольда по классической механике он отождествляет симплектические многообразия интегрируемых систем с тором. Должны ли они рассматриваться как подмногообразия или многообразия Пуассона? Унификация этого вопроса мне бы очень помогла!
Каждое кокасательное расслоение является симплектическим многообразием и, следовательно, многообразием Пуассона. Симплектические многообразия кодируют механику без ограничений. Симплектическое многообразие имеет только один симплектический лист, а именно само себя.
Более общие многообразия Пуассона (часто получаемые с помощью процесса, называемого симплектической редукцией) кодируют уже механику с ограничениями: каждый Казимир становится ограничением, когда фиксируется на постоянном значении, что приводит к гомоморфизму Пуассона к многообразию Пуассона с ограничениями. Симплектическими листами пуассоновского многообразия называются подмногообразия, полученные таким образом путем фиксации значений полного набора Казимиров, т. е. порождающие семейство всех Казимиров. (Симплектические многообразия не имеют Казимиров, кроме констант, что объясняет, почему они являются их собственными симплектическими листами.)
Чтобы наложить ограничения, не заданные Казимиром (например, при наложении ограничений на симплектическое пространство), нужно сначала ограничить исходную алгебру Пуассона на централизатор ограничения (множество функций, у которых скобка Пуассона с множеством ограничений обращается в нуль); в этом централизаторе (который в некоторых случаях можно интерпретировать как алгебру калибровочно-инвариантных функций) исходными ограничениями являются Казимиры, и применимо вышеизложенное.
Хорошей книгой о многообразиях Пуассона и их использовании в физике является книга «Механика и симметрия» Марсдена и Ратиу.
Qмеханик
пользователь58536
Арнольд Ноймайер