Эволюция оператора позиции во времени

Question

Эволюция оператора позиции во времени

Аксиома Offcheoise

Я пытаюсь понять, почему

е^{- я т △} Икс е^{я т △} "=" Икс - 2 я т \nabla

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x-2it\nabla$ где

x

$x$ просто оператор умножения на

x

$x$ . В частности, в тексте говорится, что это можно увидеть, дифференцируя по

t

$t$ .

Qмеханик

↑

$\uparrow$ Какой текст?

Вальтер Моретти

Если

△

$\triangle$ это

1 D

$1D$ лапласиан

\frac{d^{2}}{d x^{2}}

$\frac{d^2}{dx^2}$ формула должна быть неправильной.

e^{- i t △} x e^{i t △}

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ есть не что иное, как гейзенберговская эволюция оператора положения свободной частицы с массой

m = 1 / 2

$m= 1/2$ (и предположим

ℏ = 1

$\hbar=1$ ). Правильная идентичность

e^{- i t △} x e^{i t △} = x + 2 t p

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ где

p = - i \frac{d}{d x}

$p= -i\frac{d}{dx}$ .

Аксиома Offcheoise

Да вы правы. Прошу прощения за ошибку.

Ответы (1)

Эволюция оператора позиции во времени

Если $\triangle$ это $1D$ лапласиан $\frac{d^2}{dx^2}$ формула должна быть неправильной. $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ есть не что иное, как гейзенберговская эволюция оператора положения свободной частицы с массой $m= 1/2$ (и предположим $\hbar=1$ ). Правильная идентичность $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ где $p= -i\frac{d}{dx}$ .
Да вы правы. Прошу прощения за ошибку.

юггиб · Answer 1

Предполагая $\Delta$ является оператором Лапласа, т.е. $-\Delta=D_x^2$ , где $D_x=-i\partial_x$ , это происходит следующим образом (но результат отличается от того, который вы даете).

Выберите подходящий плотный домен $L^2$ где $x$ и $-\Delta$ хорошо определены, например, функции, которые $C_0^\infty$ . Позволять $\psi\in C_0^\infty$ , затем

е^{я т Д_{Икс}^{2}} Икс е^{- я т Д_{Икс}^{2}} ψ "=" Икс ψ + \int_{0}^{т} \frac{г}{г с} (е^{я с Д_{Икс}^{2}} Икс е^{- я с Д_{Икс}^{2}} ψ) г с,

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + \int_0^t \frac{d}{ds}(e^{isD_x^2}xe^{-isD_x^2}\psi)ds \; ,$ и это называется формулой Дюамеля. Теперь, взяв производную, вы получите

е^{я т Д_{Икс}^{2}} Икс е^{- я т Д_{Икс}^{2}} ψ "=" Икс ψ - я \int_{0}^{т} е^{я с Д_{Икс}^{2}} [Икс, Д_{Икс}^{2}] е^{- я с Д_{Икс}^{2}} г с "=" Икс ψ - я \int_{0}^{т} е^{я с Д_{Икс}^{2}} (Д_{Икс} [Икс, Д_{Икс}] + [Икс, Д_{Икс}] Д_{Икс}) е^{- я с Д_{Икс}^{2}} ψ г с .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}[x,D_x^2]e^{-isD_x^2}ds=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}(D_x[x,D_x]+[x,D_x]D_x) e^{-isD_x^2}\psi ds\; .$ Теперь коммутатор

[x, D_{x}] = i

$[x,D_x]=i$ , и

D_{X}

$D_X$ коммутирует с

e^{i s D_{x}^{2}}

$e^{isD_x^2}$ следовательно

е^{я т Д_{Икс}^{2}} Икс е^{- я т Д_{Икс}^{2}} ψ "=" Икс ψ + 2 Д_{Икс} \int_{0}^{т} е^{- я с Д_{Икс}^{2}} е^{я с Д_{Икс}^{2}} ψ г с "=" (Икс + 2 т Д_{Икс}) ψ .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + 2D_x\int_0^te^{-isD_x^2}e^{isD_x^2}\psi ds=(x+2tD_x)\psi\; .$ Затем результат может быть распространен на любой

ψ \in D (x) \cap D (D_{x})

$\psi\in D(x)\cap D(D_x)$ такой, что

e^{- i t D_{x}^{2}} ψ \in D (x)

$e^{-itD_x^2}\psi\in D(x)$ .

Эволюция оператора позиции во времени

Аксиома Offcheoise

Qмеханик

Вальтер Моретти

Аксиома Offcheoise

Ответы (1)

юггиб

Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

Тождество NNN-го порядка упорядоченной по времени экспоненты в квантовой механике

Сопряженный к оператору эволюции во времени

Когерентная эволюция состояния для данного необычного гамильтониана

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Помогите упростить уравнение коммутатора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z