Когерентные состояния и их существование

Преамбула:

(Эта часть взята из этих конспектов лекций .) Идея когерентного состояния возникла в результате изучения Глаубером свойств когерентности квантованного света. Поскольку электромагнитное поле квантуется как гармонический осциллятор, одномодовое электрическое поле можно записать как

$$\begin{align} E(r,t)= E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{-i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a+ E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a^\dagger =\hat E^+(r,t)+\hat E^-(r,t) \end{align}$$ с $\hat E^+(r,t)\sim \hat a e^{+i\omega t}$и $\hat E^-(r,t)\sim \hat a^\dagger e^{-i\omega t}$где $\boldsymbol{\epsilon}$учитывает поляризацию поля.

Для конечного и начального состояний$\vert f\rangle$и$\vert i\rangle$соответственно, вероятность обнаружения фотона пропорциональна

$$P_{fi}=\vert\langle f\vert \hat E^+(r, t)\vert i\rangle\vert^2$$ (поскольку фотон должен быть аннигилирован из начального состояния), поэтому интенсивность света в точке $r$получается суммированием по всем конечным состояниям $$I(r,t)=\sum_{f} P_{fi}=\langle i\vert \hat E^{-} (r, t)\hat E^{+}(r, t)\vert i\rangle =\hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r,t)\right)$$ для $\rho=\sum_{i,j} p_{ij}\vert i\rangle \langle j\vert$. Количество $$G^{(1)}(r,r')= \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r',t)\right)$$ и вообще $$G^{(n)}(r_1,\dots,r_n, r'_1,\ldots r'_n): = \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r_1,t) \ldots \hat E^{-}(r_n,t) \hat E^{+}(r_1',t)\ldots \hat E^{+}(r_n',t)\right)$$ это $n$Функция когерентности '-го порядка.

Для двух источников, расположенных на$r_1$,$r_2$, интенсивность света в точке$r$таким образом получается из

$$\begin{align} I(r, t)\sim G^{(1)}(r_1,r_1)+G^{(1)}(r_1,r_1) + 2 \vert G^{(1)}(r_1,r_2)\vert \cos(\varphi(x_1,x_2)) \end{align}$$ где корреляционные функции вычисляются с использованием $$\begin{align} \hat E^+(r, t)&= E_1^+(r, t)+ E_2^+ (r, t)\, ,\\ \hat E_i^{+}(r, t)&=E_i^+\left(r_i, t-\frac{s_i}{c}\right)\frac{e^{i(k-\omega/c)}}{s_i} \end{align}$$ где $s_i$расстояние между источником $i$и точка $r$где интенсивность должна быть вычислена. Таким образом, если $G^{(1)}(r_1,r_2)\ne 0$, интенсивность будет отображать интерференционные полосы. Максимум достигается, когда $G^{(1)}(r_1,r_2)$разлагается на произведение двух функций $$\begin{align} G^{(1)}(r_1,r_2)= f_1(r_1)f_2(r_2)\, . \end{align}$$ Говорят, что поле когерентно $n$-й порядок, если $G^{(n)}$факторизует.

Когерентные утверждения Глаубера:

Это происходит, когда состояние является собственным состоянием гармонического осциллятора. Глаубер показал, что когерентные состояния гармонического осциллятора (также называемые когерентными состояниями Глаубера)

$$\begin{align} \vert \alpha\rangle=\sum_{n}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\vert n\rangle \qquad \alpha\in \mathbb{C} \tag{1} \end{align}$$ согласуются со всеми заказами и действительно удовлетворяют $\hat a\vert\alpha\rangle=\alpha\vert\alpha\rangle$. Обратите внимание, что, поскольку $\hat a$не является эрмитовым, его собственные значения не обязательно вещественны.

Оказывается, можно также написать

$$\begin{align} \vert \alpha \rangle &= D(\alpha)\vert 0\rangle \, , \qquad D(\alpha)=e^{\alpha \hat a^\dagger-\alpha^*\hat a} \tag{2} \end{align}$$ где $D(\alpha)$является оператором перевода в $(x,p)$пространство, которое переведет основное состояние в точку $(x_0,p_0)$задается действительной и мнимой частями $\alpha$. Можно легко показать, что $$\begin{align} \hat a \vert\alpha\rangle = \hat a D(\alpha)\vert 0\rangle = D(\alpha)(\hat a+\alpha)\vert 0\rangle = \alpha D(\alpha)\vert 0\rangle =\alpha \vert\alpha\rangle\, . \end{align}$$ Эти состояния обладают рядом интересных свойств. Например, они насыщают соотношение неопределенностей в том смысле, что $$\begin{align} \Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2} \end{align}$$ на все времена. Индивидуальные средние значения $$\begin{align} \langle x(t)\rangle \sim \cos(\omega t+ \phi_0)\, ,\qquad \langle p(t)\rangle \sim \sin(\omega t+ \phi_0) \tag{3} \end{align}$$ как для классического гармонического осциллятора. (См. этот пост и этот пост для деталей.)

Когерентные состояния уравнения (1) НЕ являются собственными состояниями гамильтониана гармонического осциллятора, поэтому их эволюция во времени нетривиальна. Однако оказывается, что$\vert\alpha(t)\rangle =\vert e^{i\omega t}\alpha(0)\rangle$, т. е. эволюция получается простой, поскольку комплексный параметр$\alpha$просто подбирает зависящую от времени фазу. В этом корень поведения$\langle x(t)\rangle$и$\langle p(t)\rangle$в уравнении (3). Когерентные состояния стабильны во времени в том смысле, что форма распределения вероятностей просто колеблется во времени, не искажаясь.

Связные утверждения Перельмова:

Переломов воспользовался свойством смещения уравнения (2), чтобы определить обобщенное когерентное состояние как преобразование заданного (или реперного ) состояния. Тогда для углового момента когерентное состояние (Переломова) имеет вид

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle = R(\theta,\varphi)\vert J,J\rangle := R_z(\varphi)R_y(\theta)\vert J,J\rangle\, \end{align}$$ (см. также этот пост о спиновых когерентных состояниях).

Используя обычные инструменты, это также можно записать как

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle &= e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}e^{\zeta J_+}\vert L,L\rangle \, ,\\ &=e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}\vert L,L\rangle \end{align}$$ где $$\begin{align} \zeta=\tan\frac{\theta}{2}e^{i\varphi}\, ,\qquad \eta= -2\log(\cos\vert\zeta\vert)\, . \end{align}$$ Поскольку пространство, охваченное $\{\vert J,M\rangle, M=-J,\ldots,J\}$конечномерна, легко показать, что $J_-$не может иметь собственных состояний, поэтому это свойство когерентных состояний гармонического осциллятора не обобщается. Тем не менее, обобщенные когерентные состояния имеют общие свойства с когерентными состояниями гармонического осциллятора. Например, $$\begin{align} \Delta \tilde J_x\Delta\tilde J_y=\frac{1}{4}\langle \tilde J_z\rangle \end{align}$$ где $\tilde J_i= R(\theta,\varphi) J_i R^{-1}(\theta,\varphi)$и все величины оцениваются для состояния $\vert\theta,\varphi\rangle$. Опять же, это не собственные состояния $J_z$но у них есть "хорошие" эволюционные свойства, когда $H=\omega J_z$.

Связь с классическим пределом:

Наконец, Онофри [в Онофри, Энрико. «Заметка о когерентных представлениях состояний групп Ли». Журнал математической физики 16.5 (1975): 1087-1089 ; к сожалению, я не могу найти файл в открытом доступе для этого] показал, что по определению Переломова можно построить (классическую) скобку Пуассона, используя переменную$\zeta$и его сопряжение, или обобщение этой переменной, когда рассматривается что-то иное, чем угловой момент. В случае углового момента эта скобка записывается как

$$\begin{align} \{f,g\}= \frac{\partial f}{\partial \zeta}\frac{\partial f}{\partial \zeta^*} -\frac{\partial f}{\partial \zeta^*}\frac{\partial f}{\partial \zeta} \end{align}$$ которое можно выразить, используя явное выражение для $\zeta$по угловым переменным $\theta,\varphi$, с точностью до масштабных коэффициентов, как $$\begin{align} \{f,g\}=\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} -\frac{\partial f}{\partial \varphi}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \end{align}$$ тем самым подчеркивая роль когерентных состояний в переходе от квантовой механики к классической.