Почему мы обезразмериваем уравнение Шредингера при решении квантового гармонического осциллятора?

Итак, если мы не добавляем информацию в уравнения, то какой смысл делать эти случайные замены?

Эти замены весьма полезны. Не из-за добавления новой информации (как вы упомянули, мы не узнаем ничего, чего не знали раньше), а из-за того, что они позволяют нам увидеть то, что у нас уже есть. Они также позволяют вам оценить систему «на глаз» , как я ее называю, что, по сути, означает, что вы можете угадать намного больше, не прибегая к вычислительным инструментам.

По существу, после внесения этих замен,

1. Вы можете легко представить, что произойдет, если вы измените пропорции между входными значениями (это общее преимущество безразмерности).

2. Вы можете легко «угадать» возможные решения

---

Вот объяснение:

Вы не проходили замены, поэтому вот краткий обзор процесса ее решения. Вы можете проверить каждый этап, чтобы убедиться, что вы видите, что именно происходит с измерениями уравнения. Начнем с уравнения Шредингера,

$$\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)\psi(x, t)=E\psi(x, t)$$ (Обратите внимание, что LHS является гамильтонианом,$\mathscr{H}=T+V=\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)$, и это все четко размерно правильно)

Вы знакомы с концепцией обезразмеривания, так что я бегло пройдусь по ней: возьмем$\epsilon=\frac{E}{\hbar\omega}$, и получите (после расширения вашего оператора импульса и прочего)

$$\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\psi(x, t)-\frac{\hbar}{2m\omega}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x, t)=\epsilon\psi(x, t)$$ Прямо сейчас нет очевидной разницы между этим уравнением и оригиналом с$E$в нем: хотя он выглядит немного чище, при взгляде на него нет ничего тривиально очевидного. Итак, давайте попробуем другую пару замен,$x=\alpha u$и$\alpha=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. В большинстве книг эти замены делаются одна за другой, с расширением уравнения на каждом этапе, но поскольку в вопросе говорится, что они уже математически очевидны, я пропущу результат применения этих замен и упрощения материала. . Вы получаете это волшебно чистое выражение, $$u^2\psi(x, t)-\frac{\partial^2}{\partial u^2}\psi(x, t)=2\epsilon\psi(x, t)$$ Или, если я могу быть немного свободнее с обозначениями, $$-\psi''+u^2\psi=2\epsilon\psi$$ и $$\psi''=(u^2-2\epsilon)\psi$$

Это, очевидно, довольно легко решить в определенных условиях. Мы можем предположить, что произойдет, если$u\rightarrow\infty$:$\epsilon$-связанные члены становятся пренебрежимо малыми, поэтому мы решаем$\psi''=u^2\psi$. И это достаточно легко догадаться; результаты совпадают с$\psi=Au^ke^{u^2/2}$. Ясно, что это не то, чего вы могли бы достичь, если бы у вас не было$u$на картинке, и если бы вы не представили$\epsilon$, было бы затруднительно выяснить, какие именно члены приближаются к нулю. Аналогичный процесс можно использовать для аппроксимации решений для$u\rightarrow 0$.

---

Следующим очевидным преимуществом удаления единиц является чистота и общность вычислений для разных порядков. Обычный метод предполагает, что все другие единицы в системе принимают такие значения, что$\hbar=1$и$c=1$. Это упрощает многие расчеты. В этом случае мы устанавливаем единицы энергии ($E$) в качестве$\hbar\omega$(просто проверить,$\hbar$имеет единицы действия,$[E\ T]$(использую нестандартный$[E]$для энергии) и$\omega$частота,$[T^{-1}]$). Мы также масштабируем длину до$\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Кроме того, установив эти значения, легко сделать интуитивное предположение о масштабе проблемы (это более общее преимущество удаления измерений, которое не очень специфично для квантового гармонического осциллятора). Это позволяет легко использовать одно и то же уравнение для систем с разными порядками величины (например, в ситуациях, когда амплитуда$u$действительно крошечный и ситуации, когда он огромен), не теряя понимания и «чувства» того, что происходит.

В вашей конкретной задаче и с учетом повсеместного распространения гармонического осциллятора переход к безразмерным переменным означает, что вы можете использовать одно и то же базовое решение для огромного количества задач и восстанавливать конкретное решение, которое вам нужно, просто настраивая различные масштабы.

В общем, для этого есть ряд веских причин. Во-первых, поиск «естественных» единиц обычно дает представление о различных масштабах проблемы. Во-вторых, использование этих натуральных единиц обычно очищает результирующие уравнения. В качестве третьей, но менее важной причины, использование системы «натуральных» единиц, в которой числа не малы и не велики, является вычислительно выгодным.

Рассмотрим радиальную часть$\chi(r)=r R(r)$уравнения Шредингера для атома водорода. Это решение дифференциального уравнения

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^{2}}{dr ^{2}}\chi (r )+ \left(-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}+ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r ^{2}}\right)\chi (r ) =E\chi(r) \tag{1}$$ куда$m$- масса электрона,$\hbar$- приведенная постоянная Планка,$E$связанная энергия для$\chi(r)$, и$\ell$является целым числом.

Введем радиус Бора как единицу длины, определяемую как

$$\begin{equation} a_{0}=\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}\epsilon_0}{\pi me^{2}}=\frac{4\pi\hbar ^{2}\epsilon_{0}}{me^{2}}, \end{equation}$$ и безразмерная величина$\rho = r/a_{0}$.

Перепишем кулоновский потенциал через безразмерную переменную$\rho$, мы получили

$$V(r)=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}} \frac{me^{2}}{(4\pi \epsilon _{0})\hbar ^{2}}\frac{1}{\rho } =-\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{0})^{2}\hbar ^{4}} \frac{1}{\rho}=V(\rho).$$ Выполнение замены из$r$к$\rho$, преобразует дифференциальное уравнение в $$\frac{-me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\hbar ^{2}} \frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho ) +\left[ -\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{o})^{2}\hbar ^{4}\rho} +\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon_{o})^{2}\hbar ^{2}} \frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho ) =E\chi(\rho ).$$ Энергия Бора $$\bar E=\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\hbar ^{2}}% \approx 13.6 eV ~\sim 2.2\times 10^{-18}J$$ является очевидным выбором для энергетической шкалы.

Разделение на это дает гораздо более чистое выражение

$$-\frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho )+\left[-\frac{2}{\rho } +\frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho )=\frac{E}{\bar E}\, \chi (\rho )$$ полностью в терминах безразмерных переменных $$\bar{V}(\rho )=\frac{V(\rho )}{\bar{E}}=-\frac{2}{\rho},\quad\nu =-\frac{E}{\bar{E}} .$$

Это показывает, что, просто переходя к безразмерным координатам, мы получаем представление об энергиях, задействованных в атомной физике: не МэВ или ГэВ, а только эВ. Более того, размерами в атомной физике обычно являются размеры боровского радиуса, т.е.$\sim 10^{-11}m$. Нам никогда не приходится манипулировать небольшими количествами, такими как$10^{-18}J$или$10^{-11}m$.

Помимо чистоты, эта форма поддается еще и компьютерному решению: компьютеры работают только с безразмерными величинами, в том смысле, что им все равно, каков выбор единиц измерения.

Есть две основные причины:

• Это дает важную физическую информацию о характерных размерах системы и о том, как они зависят от основных параметров.
• Это устраняет беспорядок в обозначениях, облегчая управление уравнением.

Как вы заметили, уменьшение размерности дифференциального уравнения не меняет его фундаментальным образом и не делает его более разрешимым волшебным образом. Все изменения косметические, но косметические изменения все же имеют значение; мы люди с ограниченным мозгом обезьяны, и более простые обозначения действительно облегчают жизнь.

---

Самая важная причина, однако, заключается в том, что вы действительно получаете важную физическую информацию от процесса. Не зависящее от времени уравнение Шрёдингера для задачи

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E \psi(x),$$ имеет три соответствующих размерных параметра,$m$,$\omega$и$\hbar$, и если у вас есть трехмерные параметры, покрывающие трехмерное пространство величин (т.е.$[m]=[M]$,$[\omega]=[T^{-1}]$и$[\hbar]=[M\:L^2\:T^{-1}]$все алгебраически независимы), тогда у вас есть жесткая система в смысле теоремы Бэкингема Пи : любые две копии задачи будут иметь одинаковое поведение, и они будут идентичны до повторного масштабирования.

(С другой стороны, если вы добавите четвертый параметр в это трехмерное пространство, например, член четвертой степени$\frac14\alpha x^4$, то у вас будет один оставшийся параметр «форма», и не все копии системы будут иметь изоморфное поведение. Но я отвлекся.)

Здесь, кроме того, наличие трех параметров позволяет формировать однозначно определенные характеристические величины для всех физических размерностей, в том числе, в частности

• характерная длина,$\sqrt{\hbar/m\omega}$,
• характерный импульс,$\sqrt{\hbar m \omega}$,
• характерная энергия,$\hbar\omega$,

и через них любое другое измерение, которое вы захотите назвать. Это означает, что когда мы делаем подстановки переменных

$$\begin{align} x & = \sqrt{\hbar/m\omega} \ \xi \\ p & = \sqrt{\hbar m\omega} \ \pi \\ E & = \hbar\omega \ \epsilon, \end{align}$$ что мы делаем, так это идентифицируем единственную каноническую копию задачи, $$-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}\psi(\xi)+\frac{1}{2}\xi^2\psi(\xi) = \epsilon \psi(x),$$ вместе с каноническим масштабированием, которое говорит вам, какие масштабы длины и энергии подходят для проблемы.

---

И, как только у вас есть уравнение в форме без посторонних параметров и единственной свободной ручкой является обезразмеренная энергия$\epsilon$, становится намного яснее, какие именно параметры имеют значение, а какие нет (или, скорее, параметры, которые не имеют значения, были удалены). Полученное дифференциальное уравнение математически эквивалентно тому, с чего вы начали, но вы убрали беспорядок, и это упрощает работу, особенно когда вы продолжаете включать его как часть более крупной системы.

Уже есть очень хорошие ответы на ваше конкретное дифференциальное уравнение. Я хотел бы обратиться к заявлению

но если вы только заменяете и отменяете термины, вы не добавляете никакой новой информации.

Это правда, что вы не «добавляете новую информацию», но вы можете раскрыть информацию, которая не видна на первый взгляд. Вот очень простой пример, на уровне старшей школы. Рассмотрим типичную задачу о подбрасывании мяча вверх и описании траектории. Скажем, мы стреляем по мячу с высоты$0$, со скоростью$10\,$РС. Затем представляется высота мяча в метрах и с$t$в секундах, по

$$h(t)=-\tfrac12\,gt^2+10t.$$ Предположим, вас попросили найти, в какой момент времени высота мяча максимальна и что такое максимум. Если вы знаете исчисление, вы можете найти$t$такой, что$x'(t)=0$, а затем оценить$x$при этом$t$. Но, не зная исчисления и немного «заменив и отменив термины», мы можем получить $$h(t)=-\tfrac12\,g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t) =-\tfrac12\,g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t+\tfrac{400}{g^2}-\tfrac{400}{g^2}) =-\tfrac12\,g\,(t-\tfrac{20}{g})^2+\tfrac{200}g.$$ Сейчас$h$выражается таким образом, что, поскольку первый член никогда не бывает положительным, сразу видно, что максимальная высота равна$200/g$метров, и это происходит именно в$20/g$секунды.

Мы, физики, работаем с измерениями. Однако математики работают с безразмерными параметрами, такими как$x$и$y$. Для нас,$x$были бы метры, но для математика$x\in\mathbb{R}$.

Итак, оказывается, существовало дифференциальное уравнение, называемое «дифференциальным уравнением Эрмита», которое было хорошо известно до КМ. Поскольку это была математическая проблема, она была сформулирована в терминах$x$и$y$, а не "габаритные" величины.

Итак, мы обнаружили, что после всех этих замен квантовый гармонический осциллятор стал уравнением Эрмита. И это было здорово, потому что мы уже знали это решение.

Если бы мы не знали этого уравнения, то вряд ли нашли бы решение. Имейте в виду, что большинство задач QM не имеют аналитических решений.