Конечная равновесная температура двух резервуаров, соединенных вместе тепловой машиной (тепловой КПД 50%)

Я рассматриваю теплоизолированную систему постоянного давления. Где 10 кг воздуха при 1000 К (предположим$Cp_{air}=0.98$кДж/кгK, обозначим это как горячий резервуар H) соединен с 10 кг воды при 300K (предположим$Cp_{water}=$4,2 кДж/кгК и обозначим его как холодный резервуар буквой С). Тепловой двигатель имеет максимальный тепловой КПД 50%.

Я знаю, что должен рассматривать равновесие с точки зрения изменения энтропии. т.е. когда

$\Delta S_{system} = 0$

Я понимаю, как решить эту задачу, когда тепловая машина обратима. С того времени$\frac{\delta Q_H}{T_H} = \frac{\delta Q_H}{T_H}$ведущий к

$\Delta S_{system} = (mC_P)_{air}\ln(\frac{T_f}{T_H}) + (mC_P)_{water}\ln(\frac{T_f}{T_C}) = 0$

$\Rightarrow T_f =$равновесная температура системы = 376,7К.

Однако я не могу понять, как учесть тот факт, что тепловой КПД тепловой машины составляет всего 50%. Я сделал следующее до сих пор:

$\eta_{th} = \frac{\delta W_E}{\delta{Q_H}} = 0.5$

$\Rightarrow \delta W_E = 0.5\delta{Q_H}$

Начиная с 1-го закона$\Rightarrow dU=\delta{Q}-\delta{W}$а для тепловой машины, совершающей цикл,$dU=0$и поэтому$\delta{Q_C}=-0.5\delta{Q_H}$. Но я знаю, что это только для максимального случая, и я знаю, что тепловой КПД будет уменьшаться по мере выравнивания двух температур.

Любая помощь будет принята с благодарностью, заранее спасибо!

РЕДАКТИРОВАТЬ: точная проблема P2.10 ниже: