Конечная скорость после вертикального старта

Уравнение движения с учетом линейного сопротивления (ось ориентирована вверх)

$$m\frac{dv}{dt}=-mg-bv.$$ Конечная скорость $v_t$получается, когда $\frac{dv}{dt}=0$, т.е. $$v_t=-\frac{mg}{b}.$$ Решение с начальным условием $v(0)=v_0$мы получаем $$v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})+v_0e^{-bt/m}.$$ Если начальная скорость равна (по модулю) конечной скорости, то $$v(t)=v_t(1-2e^{-bt/m}).$$ Затем $v(t)=v_t$подразумевает $0=e^{-bt/m}$. Это равенство соблюдается только для $t\rightarrow\infty$, т.е. частица не достигнет своей конечной скорости при падении.

Ответ диракологии совершенно правильный, но я думаю, что, возможно, другой способ ответить на вопрос — это явно рассчитать скорость падающей частицы, когда она возвращается на высоту, с которой она была запущена. Последнее уравнение диракологии предполагает, что частица может продолжать падать ниже уровня, с которого она была запущена, вечно, а увеличение скорости монотонно, поэтому мы видим, что скорость частицы, когда она падает обратно через свою начальную высоту, на некоторую ненулевую величину меньше, чем скорость запуска. .

Метод 1 (качественный расчет) : Начальная кинетическая энергия тела равна$E_0=\frac{1}{2}\,m\,v_0^2>0$. Силовое поле гравитации консервативно. Поэтому измените$\Delta U$в гравитационном потенциале к тому времени, когда тело падает на свою начальную высоту, равно нулю. Сила сопротивления все время действует против скорости тела. Следовательно, тело совершает работу на воздухе, так что к тому времени, когда оно достигнет своей первоначальной высоты, оно должно потерять некую ненулевую величину$E_d$от его полной энергии. Таким образом, измеряя потенциалы относительно начальной высоты, имеем$E_0 - E_d + \Delta U = \frac{1}{2}m\,v_f^2$, где$v_f$– искомая скорость. Поэтому мы видим, что$v_f < v_0$и что разница не равна нулю.

Преимущество этого качественного метода состоит в том, что он не зависит от функциональной формы.$f(v,\,\cdots)$сопротивления (например, сопротивление давления поршня изменяется, как$v^2$и, возможно, сопротивление может зависеть и от положения); единственное, что нам нужно знать, это то, что сопротивление всегда противодействует движению.

Метод 2 (количественный) : Запишите уравнение движения Диракологии в виде:

$$m\,v\,\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} y} = -m\,g - b\,v$$

где$y$это высота. Таким образом, заключить

$$\frac{m}{b}(v-v_0) - \frac{m^2\,g}{b^2} \,\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right) = -y$$

и найти второе решение$v_f$для$y=0$, т.е. когда тело возвращается на начальную высоту$y=0$(первое, конечно$v=v_0$). Это трансцендентное уравнение в$v$, но им можно манипулировать, чтобы показать, что$v<v_0$(напишите условие для$y=0$в виде$b\,(v-v_0) = m\,g\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right)$и покажите, что две стороны могут иметь одинаковый знак только в том случае, если либо равны нулю ($v=v_0$, наше первое решение) или строго$v<v_0$).

Очевидно, что нет, за счет невозрастания энергии (перетаскивание всегда производит отрицательную работу). Если бы на какой-то положительной высоте объект достиг своей стартовой скорости (какой бы она ни была, конечная скорость не имеет значения для этого аргумента), он получил бы свою начальную кинетическую энергию и приобрел бы потенциальную (гравитационную) энергию, поэтому некоторая положительная работа совершается. быть выполненным. Но перетаскивание (в одиночку) не может этого сделать.

(Это в основном также сказано в ответе Рода Вэнса, но я чувствую, что если объяснение без формул существует, его стоит дать.)