«конечные» КТП, особенности на коротких расстояниях и исчезающие бета-функции

Я не уверен, что смогу сформулировать этот вопрос достаточно связно — он вытекает из различных вещей в КТП, о которых я недавно думал и читал. Возможно, эти мысли ошибочны, но все же было бы полезно узнать, почему они таковы, если они таковы! Я хотел бы услышать некоторые обсуждения по этому поводу.

  • Я предполагаю, что есть КТП, которые являются «точными» или «конечными», поскольку им не требуется регулятор или отсечка для определения их статистической суммы (... и я думаю, что можно точно оценить статистическую сумму..) Я предполагаю, что действительно нетривиальными «конечными» КТП были бы те, которые таковы даже в некомпактном пространстве-времени. Есть такие?

  • Я предполагаю, что существуют КТП, которые имеют непертурбативную нулевую бета-функцию. (как Н знак равно 4 СИМ?)

Связаны ли два вышеуказанных свойства?

Подобно тому, как «конечность» означает, что она имеет точно 0 бета функция или наоборот? (.. кажется нет.. см. ниже..)

  • Я предполагаю, что КТП (... или любая КТП, находящаяся в нуле своей бета-функции - «критическая»? ..) по определению имеют нулевую бета-функцию, но у них есть нетривиальные ОРЕ, исходящие из сингулярностей на коротких расстояниях. Это как-то не интуитивно, потому что можно было бы наивно думать, что большой импульс подобен короткому расстоянию, и, следовательно, если теория не требует регулятора и, следовательно, не имеет большой дивергенции импульса, то она также, соответственно, не должна иметь никакой сингулярности на коротких расстояниях. Но это кажется неправильным - поэтому я думаю, что кто-то может подумать, что наличие ровно 0 бета-функции не имеет ничего общего с конечностью теории.

Мне не ясно, существует ли какая-либо прямая связь между наличием сингулярностей на коротких расстояниях и тем, расходятся ли интегралы импульсного пространства (... что, возможно, должно подразумевать, что статистическая сумма также расходится...) (... Как Юдзи Тачикава в комментариях указывает на простой случай, что даже теория свободных бозонов имеет сингулярность на коротких расстояниях, но, поскольку в ней нет петлевых процессов, я думаю, что не имеет смысла спрашивать, сходятся ли интегралы импульсного пространства, но я думаю, что ее статистическая сумма не всегда хорошо- определенный..)

Как и на стр. 441, Вайнберг в первом томе своих книг по КТП пишет курсивом, что «перенормировка масс и полей не имеет прямого отношения к наличию бесконечностей и была бы необходима даже в теории, в которой все интегралы импульсного пространства были бы сходящийся"

Подводя итог моему запросу, можно сказать, что в КТП есть концептуально разные множественные источники бесконечности, например,

  1. расходимость интегралов импульсного пространства
  2. сингулярность на коротком расстоянии
  3. расходящиеся статистические суммы
  4. константы связи отправляются в бесконечность бета-функцией

(Я думал также добавить явление полюса Ландау в приведенный выше список, но я думаю, что это не столь фундаментальное свойство и является лишь признаком неудачи метода возмущения.. подумал, что могу ошибаться..)

Так есть ли способ думать об этих «разных» бесконечностях как о причине и следствии друг друга?

Или возможно, что любая их комбинация может проявиться в какой-то QFT?

И/как они связаны со свойством бета-функции быть непертурбативно равным 0 или нет? (..за исключением случая "по определению", что для непертурбативно 0 бета-функции (4) не может произойти..)

Пожалуйста, перефразируйте свой вопрос. Даже теория свободных бозонов ф имеет сингулярность на коротких расстояниях в своей двухточечной функции ⟨ ф ( Икс ) ф ( у ) ⟩ .
@Yuji: Участвует ли эта функция точки буксировки в расчетах эволюции поля свободных бозонов?
@Yuji Спасибо за комментарий - я переформулировал некоторые предложения. Да, теория свободных бозонов является примером КТП, в которой двухточечная функция расходится, и эта теория не нуждается в регуляторе, но я предполагаю, что она не «конечна», поскольку ее статистическая сумма, скорее всего, не сходится - всегда ли этот функциональный определитель имеет конечное значение? Вот в чем заключается мое замешательство - какая или есть ли связь между этими свойствами (не) наличием сингулярности на коротких расстояниях, (не) наличием нетривиальной бета-функции и (не) наличием конечной статистической суммы. Буду рад, если объясните
Согласен с Юдзи, вопрос слишком расплывчатый. Ясно, что конечность не влечет конформной инвариантности. Например, возьмем огромное свободное поле. Все корреляционные функции в отдельных точках конечны, но теория не является конформной. В качестве альтернативы возьмите N = 4, деформированное массовым членом. УФ ничего не знает о массе, поэтому все корреляционные функции всех фундаментальных полей конечны. Теория явно неконформна. Также конформная теория не обязательно должна быть конечной. Нужно только потребовать, чтобы расходимости были таковы, что их можно было бы устранить переопределением поля.
@Zohar Komargodski Спасибо за ваш ответ. Я не знаю, как сделать вопрос точным, но я думаю, такие эксперты, как вы, знают, что такое концепция, которая объясняет то, о чем я неясно. Также я не знаю, какова правильная терминология - под «конечным» я не имел в виду, что корреляционные функции конечны при конечном ненулевом разделении - я использовал этот термин для обозначения того, что статистическая сумма четко определена, то есть ему не нужен регулятор и т.
@Zohar Может быть, вы можете подробнее рассказать о связи между конформностью (непертурбативной 0 бета-функцией) и 4 «различными» типами особенностей, которые я перечислил.
@Anirbit, даже в теории свободного поля есть интеграл петли, который расходится: то есть диаграмма с одной петлей без какой-либо вершины. Это соответствует нулевой энергии свободных осцилляторов, что приводит к расходимости статистической суммы в УФ. Итак, ваши пункты 1,2,3 уже относятся к теории одного свободного бозона, и всегда там.
еще пять центов: в QM, которую вы, вероятно, хорошо знаете, статистическая сумма расходится. Таким образом, наличие расходящейся функции распределения в КТП не должно вызывать особой тревоги. Также нет априорной связи между 1 и 4. Существует много теорий с расходимостями (например, КХД), которые никогда не сталкиваются с бесконечной связью или какой-либо другой сингулярностью.
Я думаю, что ключевое наблюдение, которое вы ищете, заключается в том, что CFT не требует перенормировки. Это связано с тем, что один из способов думать о перенормировке - это позволить константам теории зависеть от УФ-отсечки, но для КТП такой зависимости не может быть из-за симметрии масштабирования.
@Zohar То, что статистическая сумма расходится, неудивительно, но я хочу понять, связано ли это каким-либо образом с другими формами расхождения, такими как графики Фейнмана, сингулярности на коротких расстояниях?
@Yuji Да .. теория свободного поля имеет все эти особенности. Дело в том, какие возможные подмножества этих «плохих» вещей может иметь КТП? (.. как Вайнберг в этом заявлении указывает, что перенормировка может произойти, даже когда все графики сходятся..) Или, что более важно, непертурбативное исчезновение бета-функции каким-то образом предотвращает любую из этих 4 сингулярностей? Является ли сингулярность на коротких расстояниях существенным признаком любой КТП? Существуют ли конечные КТП на некомпактном пространстве-времени?
Anirbit: Целью моего примера КМ было показать, что нет никакой связи между расходимостями статистической суммы и расходимостями корреляционных функций в отдельных точках. Действительно, в КМ последние отсутствуют.
@Zohar Я предполагаю, что вы имеете в виду примеры QM с бесконечным спектром, где сходимость находится под вопросом, но для систем с конечным состоянием статистическая сумма будет просто конечным числом - есть ли аналоги этого в QFT? Это связано с тем, что я спрашивал изначально: существуют ли нетривиальные (или нет!) КТП на некомпактном пространстве-времени, которые имеют конечную статистическую сумму? Всегда ли на компактном пространстве-времени статистическая сумма конечна? Говорит ли исчезновение бета-функции о конечности КТП?
Статистическая сумма всегда будет расходиться по объему в некомпактном пространстве. В компактном пространстве это все еще может быть УФ-расхождением, но иногда УФ-расхождение может компенсироваться (например, если есть SUSY). Как я пытался предположить, все это не имеет ничего общего с бета-функцией.
@Zohar Это довольно захватывающее заявление, что вы делаете, что бета-функция, не являющаяся пертурбативно равной 0, не влияет на возможные расхождения статистической суммы или корреляционных функций. Не могли бы вы привести примеры или ссылки для SUSY QFT, в которых УФ-расходимость статистических сумм отменяется? И вы говорите, что ничто не может спасти дивергенцию на некомпактном пространстве-времени? Что мы знаем о статистической сумме или двухточечных корреляциях N = 4 SYM, которая имеет непертурбативно 0 бета-функцию?

Ответы (1)

Это довольно тонкий вопрос, так как и на классическом уровне параметры теории могут оказаться переопределенными конечным образом. Но, насколько вам известно, мы очень хорошо разбираемся со свободными теориями, и в основном они возникают как фиксированные точки для известных теорий. Если вам нужен пример, вы можете взглянуть на скалярную теорию поля. Вы можете рассмотреть стандартное действие, например

С знак равно ∫ д 4 Икс [ 1 2 ( ∂ ф ) 2 − λ 4 ф 4 ]

Эта теория тривиальна, и это означает, что она достигает тривиальной фиксированной точки как в ультрафиолетовом, так и в инфракрасном диапазоне, что делает бесполезным описание физики, если только где-то явно не введено какое-то ограничение. Но в инфракрасном диапазоне вы получите бета-функцию, похожую на

β ( λ ) знак равно 4 λ + с 1 λ + О ( 1 / λ )

и так, если у вас есть пусковая муфта λ знак равно λ 0 вы получите работающую муфту, идущую к нулю, как п 4 понижение импульсов. Теория становится свободной, но все эти свободные возбуждения массивны с массой, пропорциональной λ 0 1 4 как также видно из расчетов решетки. Отсюда видно, что, несмотря на то, что мы имеем дело с тривиальной неподвижной точкой, все параметры теории оказываются правильно переопределенными и конечным образом!

Смысл этого в том, что перенормировка просто выражает физическое свойство квантовой теории: тот простой факт, что взаимодействие изменяет все параметры данной теории при включении связей. Но след этого можно найти в неподвижных точках самой теории.

Теперь, если вы посмотрите на классическую теорию, вы сможете решить ее точно, но решения не имеют конечной энергии, если только вы не работаете с конечным объемом или не переопределяете связь λ , точно так же, как это происходит с квантовой теорией. Также в этом случае вы получите массу, даже если вы начали с безмассовой теории, и ваша связь будет работать.

Опять же, мы видим, что эффект взаимодействия, тот факт, что связь λ не равен нулю, это как раз изменение всех параметров теории.

Как видите, это верно независимо от того, справляетесь вы с бесконечностями или нет.

«конечные» КТП, особенности на коротких расстояниях и исчезающие бета-функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v