Почему резонансные частоты для смещения, скорости и ускорения различны в демпфированном генераторе?

Возможно, проще думать об этом в частотной области.

$x''(t) + \gamma x'(t)+ \omega_0^2 x(t) = F(t)$превращается в$-\omega^2X(\omega) + \gamma j \omega X(\omega)+\omega_0^2 X(\omega) = F(\omega)$

что дает знакомый вид передаточной функции$X(\omega) = F(\omega)/(\omega_0^2 + \gamma j \omega - \omega^2 )$

Резонанс обычно определяется как точка, в которой первый и последний члены демонинатора сокращаются, т.е.$\omega=\omega_0$. Однако это не обязательно пик отклика. Пик отклика зависит от того, что вы измеряете. Как вы заметили, амплитуда$X(\omega)$, достигает пика на самой низкой частоте, а затем последовательные производные (скорость$j\omega X(\omega)$, ускорение$-\omega^2 X(\omega)$, придурок$-j\omega^3 X(\omega)$и т. д.) пик на все более высоких частотах из-за последовательных умножений на линейный частотный коэффициент$j\omega$.
Суть в том, что резонанс на$\omega = \omega_0$, но пики отклика зависят от того, какое конкретное свойство вы измеряете.

[Править] Вопрос «почему пик потенциальной энергии приходится на более низкую частоту, чем кинетическая энергия» — хороший способ сформулировать вопрос.
Механизм потери энергии в системе представляет собой линейный член затухания, пропорциональный скорости . Таким образом, кинетическая энергия достигает пика, когда потери энергии (рассеяние мощности) достигают пика. Однако это неверно для потенциальной энергии. Потенциальная энергия достигает пика на немного более низкой частоте, где все еще существует большое «усиление» от резонанса, но где скорость немного ниже, и, следовательно, немного меньше энергии теряется на рассеяние.

Я думаю, что вы используете термин «резонанс» в совершенно необычном и очень личном значении.

Из выражений, которые вы пишете, я понимаю, что ваш вопрос заключается в том, что вы называете «резонансом» значение частоты, для которой конкретная величина максимальна для данного входа.

Если ваш настоящий вопрос заключается в том, почему пик ускорения приходится на более высокую частоту, чем пик скорости , которая сама по себе находится на более высокой частоте, чем пик смещения , ответ дает Роджер Вуд:

Как вы указываете, амплитуда 𝑋(𝜔) достигает пика на самой низкой частоте, а затем последовательные производные (скорость 𝑗𝜔𝑋(𝜔), ускорение -𝜔2𝑋(𝜔), рывок -𝑗𝜔3𝑋(𝜔) и т. д.) достигают пика на все более высоких частотах, потому что последовательных умножений на линейный частотный коэффициент 𝑗𝜔.

Но единственный "резонанс" в$\omega=\omega_0$. Изменение привычного определения слова — вообще плохая идея.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ

Чтобы превратить совершенно правильный ответ Роджера Вуда в более «интуитивный»:

Максимальная амплитуда смещения для данной движущей силы приходится на некоторую частоту (которая бывает чуть ниже$\omega_0$, но это замечание не имеет отношения к дальнейшему). Поскольку это максимум, наклон равен нулю. Если вы немного увеличите частоту, отклик уменьшится очень, очень медленно, потому что нет нисходящего наклона , просто нисходящая кривизна , что означает, что вы должны наращивать нисходящий наклон, уходя от него, прежде чем он начнет снижаться «серьезно». Амплитуда скорости равна амплитуде смещения, умноженной на$\omega$. Если вы увеличите$\omega$немного, произведение (время смещения$\omega$) увеличивается почти на столько же "чуть-чуть" из-за увеличения$\omega$, так как уменьшение амплитуды смещения еще не нарастало .

Таким образом, вы видите, что амплитуда скорости все еще увеличивается на «верху» амплитуды смещения. Достаточно скоро уменьшение амплитуды смещения будет нарастать и преобладать над увеличением из-за умножения на$\omega$, и вы достигнете максимума скорости при несколько большей$\omega$(что оказывается просто$\omega_0$но это не важно.

Повторите точно такие же рассуждения, и вы увидите, что максимум ускорения по-прежнему приходится на чуть более высокую частоту.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 как ответ на ваше редактирование 2

То, что вы называете «максимальным поглощением мощности», а я бы назвал «максимальным рассеянием», достигается при максимальной скорости , потому что именно скорость вызывает рассеяние , а не потенциальная энергия.

Именно по той причине, которую я указал в своем первом редактировании, максимальная скорость достигается не при максимальной амплитуде смещения (которая является максимальной потенциальной энергией), а при немного (для слабого демпфирования) более высокой частоте.

РЕДАКТИРОВАТЬ 3

В ответ на комментарий Фарчера: я предполагал, что вы рассматриваете электрическую цепь. Вот почему я сказал, что обычное определение резонанса таково:$\omega=\omega_0$, максимальная скорость.

Действительно, для механики обычным определением резонанса является максимальное смещение. Это действительно несоответствие из-за старой исторической ситуации.

Но я хочу сказать, что в данном контексте, будь то механика или электричество, есть одно обычное определение резонанса. Так что придерживайтесь обычного определения в той обстановке, с которой вы имеете дело, даже если есть другое обычное определение для другой настройки.

Я думаю, что мое замешательство может быть вызвано простым вопросом: почему частота, которая обеспечивает максимальное поглощение мощности (ω=ω0, когда движущая сила совпадает по фазе со скоростью), не приводит к максимуму потенциальной энергии (т.е. к пику в амплитудной характеристике) генератора?

Именно отсюда и происходит ваше замешательство. Одномерный (затухающий) гармонический осциллятор имеет двумерное фазовое пространство, а это означает, что положение и скорость (строго говоря: импульс) полностью независимы друг от друга статически. Они связаны только динамически.

В то время как упругая энергия пружинного элемента (которую вы называете «потенциальной энергией», хотя она является свойством пружины этой несохраняющейся системы) является только функцией положения, рассеивание мощности является только функцией скорости (для данной силы возбуждения).

Так же, как лежащие в основе фазового пространства степени свободы$x$и$v$(читать:$p$) независимы друг от друга в каждый момент времени$t$, потенциальная энергия и мощность рассеяния являются независимыми величинами для каждого$t$.

Таким образом, правильный вопрос должен быть:

почему вообще потенциальная энергия и рассеиваемая мощность должны быть связаны именно таким образом, чтобы их максимумы возбуждения под действием синусоидальной силы принимались на одной и той же частоте?

Спрашивать интуицию о том, почему они так себя не ведут, в некотором смысле то же самое, что спрашивать интуицию о том, почему не существует фей и эльфов. По крайней мере, до тех пор, пока вы не дадите хорошего объяснения своей контринтуиции, что феи и эльфы действительно должны существовать...

Вы должны поглощать естественную частоту$\omega_0$в единицы времени, и исключить их из$\gamma =2\zeta \omega_0$, безразмерный. Таким образом, вы получите стандартную сложную форму ,

$$\ddot{x} + 2\zeta \dot{x} + x = e^{i\omega t}.$$ Теперь ζ окажется полушириной резонансной кривой.

Начнем с того, что максимальная амплитуда смещения должна быть на частоте, меньшей, чем собственная незатухающая частота, здесь 1, так как вы накачиваете/восполняете энергию в систему, продлевая ее цикл, т.е. растягивая ее дольше в точке минимума кинетики . энергия. Для оптимальной связи скорость проходит через нуль и меняет знак немного раньше, чем движущая сила. (Некоторые люди чему-то учатся из этого .)

Таким образом, амплитуда смещения максимальна при$\omega_d=\sqrt{1-2\zeta^2}<1$, а рассеиваемая и поглощаемая мощность равна$\propto \omega^2 A_d^2= A_v^2$. Если бы система не была демпфирована, усилитель смещения расходился бы при$\omega=1$.

Усилитель смещения, непосредственно разработанный в предоставленной ссылке WP, затем

$$A_d= {1\over \omega \sqrt{(\omega -1/\omega)^2+ 4\zeta^2}} \propto {1\over \sqrt{(\omega^2 -(1-2\zeta^2))^2 + O(\zeta^4) }} .$$

Три усилителя, как функции ω , связаны друг с другом и, следовательно, их разные максимизирующие частоты.

Обратите внимание, что усилитель ускорения$A_a=-\omega^2 A_d$и усилитель скорости с прямоугольной фазой$A_v= \omega A_d$, следовательно

$$|A_d ~ A_a|= |A_v|^2,$$ пока $$A_v(\omega)= A_v(1/\omega)= ((\omega -1/\omega)^2+ 4\zeta^2)^{-1/2}$$ пики в$\omega=1$, простой проверкой вышеизложенного.

У меня нет "физической интуиции" для

$$A_a(\zeta, \omega) = A_d (\zeta, 1/\omega)$$ что дает ваши соответствующие резонансные частоты путем проверки, поскольку смещение максимально не совпадает по фазе с ускорением (и, следовательно, одно достигает своего минимума, когда другое достигает своего максимума, и наоборот).

Это видно по$\omega \to 1/\omega$симметрии, что резонансные частоты тогда являются обратными друг другу как функции$\zeta$. Формулы так славно красноречивее, чем физические "истории", вот...

---

Приложение

Если вы смело взялись за изучение книги Ф. Кроуфорда « Волны» (Курс физики Беркли, том 3) ISBN-13:978-0070048607, чтобы отследить всю входную мощность, мощность, рассеиваемую трением, и среднее значение накопленной энергии во времени, вы можете углубиться в раздел 3.2; на этом языке вы бы напрямую вычислили усредненную входную мощность (и, обязательно, рассеиваемую трением) мощность, чтобы быть

$$\langle P\rangle = \frac{\zeta \omega^2}{(1-\omega)^2 + 4\zeta ^2 \omega^2} ~~,\tag{21}$$ с пиком при ω=1 , как и скорость; и, далее, запасенная энергия, суммируя кинетические и потенциальные члены, $$\langle E \rangle =\tfrac{1}{4}\frac{\omega^2 +1}{(\omega^2-1)^2+4\zeta^2 \omega^2 } ~. \tag{23}$$ При ω=1 они просто связаны.

Я думаю, что мое замешательство может быть вызвано простым вопросом: почему частота, которая обеспечивает максимальное поглощение мощности (ω=ω0, когда движущая сила совпадает по фазе со скоростью), не приводит к максимуму потенциальной энергии (т.е. к пику в амплитудной характеристике) генератора?

Интуитивно это связано с тем, что наличие демпфирования делает преобразование кинетической энергии в потенциальную несовершенным. Я имею в виду следующее:

1. Если бы не было затухания, то$\omega_{dis} = \omega_{vel}$, что вы можете увидеть, не только подставив в уравнение, но и учитывая, что энергия не теряется, поэтому кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию и наоборот, когда система колеблется. По этой причине, если вы хотите получить максимальное смещение, вы можете добиться этого, установив$\omega = \omega_0$потому что это дает максимальную амплитуду скорости, которая, в свою очередь, дает максимальную амплитуду смещения.

2. Если демпфирование есть , а вы все равно хотите получить максимальное водоизмещение, то предыдущее рассуждение уже не работает. Из-за демпфирования происходит диссипация энергии, и, кроме того, это демпфирование пропорционально скорости. Итак, представьте, что вы пытаетесь сделать то же самое, что и раньше, и устанавливаете$\omega = \omega_0$, получая максимальную амплитуду скорости и скажем, что речь идет о массе, прикрепленной к пружине горизонтально, просто чтобы привести простой пример. В какой-то момент масса имеет максимальную кинетическую энергию, и ее «большой» (опять же потому, что$\omega = \omega_0$), но и демпфирование велико (оно пропорционально$v$) и поэтому у вас мало эффективности преобразования кинетической энергии в потенциальную, это означает, что у вас не будет максимально возможной амплитуды потенциальной энергии или, что то же самое, смещения. Что вы можете с этим поделать? Повысьте эффективность. Как? Уменьшение демпфирования, и этого вы можете достичь, имея меньшую скорость, поэтому$\omega \neq \omega_0$что объясняет, почему$\omega$бывают разные.

   Конечно, есть компромисс: нельзя слишком сильно уменьшать амплитуду$v$, потому что, хотя вы получите очень хорошую эффективность преобразования кинетической энергии в потенциальную, у вас не будет слишком много кинетической энергии для преобразования!