Уширение пика резонанса из-за потерь: физическая причина

Чтобы подумать об этом во временной области, рассмотрите возможность запуска системы и наблюдения за ее развитием:

Без потерь: отклик представляет собой чистую частоту$A \cos {\omega t}$

С потерями есть экспоненциальное затухание$A e^{-t/\tau} \cos {\omega t}$. Обратите внимание, что это не одна частота: из-за (различного) падения от одного цикла к другому ранние пики немного ближе друг к другу, фактически на более высокой частоте. Частотная характеристика расширяется за счет затухания.

Я бы попробовал следующее: думайте об этом не как о более широком резонансе, а как о менее выраженном поведении системы. Генераторы с меньшим демпфированием просто имеют более точное определение резонанса.

Изучите этот сюжет в Википедии. Ясно, что потери не могут улучшить ситуацию вокруг резонансной частоты, они просто равномерно ухудшают ее, и поэтому вблизи резонансной частоты наблюдается менее крутой рост.

Одно из возможных объяснений может быть основано на том факте, что при малых потерях высокие$Q$цепи, чувствительность импеданса к отклонению частоты от резонансной, больше, чем для больших потерь, низких$Q$схемы.

В результате относительные изменения напряжений и токов в цепях с малыми потерями также больше и, соответственно, пики резонансных кривых, связанных с цепями с малыми потерями, острее. Или можно сказать, что пики, связанные с резонансными кривыми цепей с большими потерями, шире.

Возьмем два резонансных контура RLC, высокие$Q$и низкий$Q$, с одинаковыми реактивными компонентами,$L$и$C$, но разные резистивные составляющие: низкое,$r$, для высокого$Q$схема и высокая,$R$, для низких$Q$схема.

На резонансной частоте импедансы обоих резонансных контуров, высокие$Q$и низкий$Q$, являются чисто резистивными.

При отклонении частоты от резонансной к сопротивлениям обеих цепей добавляется одна и та же реактивная составляющая, емкостная или индуктивная (в зависимости от направления изменения частоты), но из-за меньшего сопротивления в ВЧ$Q$цепи, эта реактивная составляющая станет более доминирующей в высоких$Q$цепь, чем в низкой$Q$цепи, что приводит к более резкому изменению импеданса высокочастотного$Q$цепи (включая амплитуду и фазу).

Предположим, что обе цепи питаются от одного и того же источника переменного напряжения.$V$.

На резонансной частоте$f_0$, импедансы двух цепей будут определяться их сопротивлениями,$Z_1=r$и$Z_2=R$. Соответственно, токи в двух цепях будут$I_1=V/r$и$I_2=V/R$.

Если частота увеличивается на$\Delta f$, импеданс катушек индуктивности превысит импеданс конденсаторов в обеих цепях, скажем, на$X$. Величины новых импедансов для высоких$Q$и низкий$Q$цепи станут$Z_1'=\sqrt {r^2+X^2}$и$Z_2'=\sqrt {R^2+X^2}$, соответственно.

Относительное увеличение величины нерезонансного импеданса по сравнению с резонансным импедансом будет больше для высоких частот.$Q$цепи, чем для низких$Q$цепи:

Соответственно относительное уменьшение нерезонансного тока над резонансным будет больше для высоких$Q$контур, приводящий к более резкой резонансной кривой.

Тот же эффект может быть продемонстрирован для параллельных цепей RLC, за исключением того, что в этом случае большее сопротивление дает большее сопротивление.$Q$.

Если мы возьмем в качестве примера органный осциллятор, то причина станет ясна в следующем.

Сначала представим, что труба колеблется без потерь. В нем есть стоячие волны с нулевой скоростью точно на закрытом конце и нулевым давлением точно на открытом конце, поэтому его резонансная длина волны точно связана с длиной трубы.

Теперь введем в систему потери. Здесь мы будем использовать радиационное сопротивление, т. е. потери энергии за счет излучения звуковых волн из открытого конца трубы в окружающий его воздух. Теперь осциллятор затухает.

Чтобы звуковая волна, находящаяся внутри трубы, теряла энергию через открытый конец трубы, необходимо, чтобы открытый конец трубы не имел нулевого давления, иначе волны давления не выходили бы из него. это означает, что звуковая волна будет немного выступать из открытого конца трубы в процессе «общения» с окружающим воздухом.

Это означает, что резонирующая длина воздушной массы внутри трубы теперь включает порцию воздуха снаружи трубы, которую он должен встряхнуть, чтобы вывести энергию из трубы. Эта дополнительная масса заставляет трубу «выглядеть» длиннее и тем самым снижает незатухающую собственную частоту трубы и заставляет ее играть «плоско».

Вы правы, говоря: «объяснение должно быть во временной области, а не в частотной». Возьмем, к примеру, идеальный SHO в состоянии покоя и приложим к нему резонансную силу.$t=0$. Другими словами, при$t=0$вы начинаете качать амплитуду, частота движения остается прежней. Амплитуда растет как$t$- линейно. Затем в$t=\tau$вы перестаете качать и оставляете осциллятор свободным. Для любого конечного времени наблюдения$T$спектр системы будет содержать разные частоты именно из-за наличия переменной амплитуды внутри$0<t<T$. Только когда$T\gg\tau$и$T\gg 2\pi/\omega_0$другие частоты исчезнут. Накачка (выигрыш) является чем-то противоположным затуханию (проигрышу); общей чертой является изменение во времени амплитуды осциллятора в обоих случаях.

Базовый гармонический осциллятор представляет собой идеалистическую модель и предполагает линейность описывающих его дифференциальных уравнений. Любое уширение пика для этой модели связано с добротностью системы: насколько велика демпфирующая сила по отношению к инерционным и восстанавливающим силам. Чем выше Q, тем уже пик.

Но в реальных физических системах, которые аппроксимируют модель гармонического осциллятора, всегда присутствует нелинейность поверх идеальной линейной гармоники. Нелинейность также может привести к расширению пика за счет гармонических искажений . Во временной области искажение выглядит как синусоида, которая не совсем идеальна.