Координатная сингулярность в метрике

Question

Координатная сингулярность в метрике

Джим Бернс

Предположим, у меня есть некоторая метрика

г с^{2} "=" г (т) г т^{2} + \frac{1}{р} г р^{2}

$ds^2=g(t)dt^2+\frac{1}{r}dr^2$

который имеет сингулярность в $r=0$ .

Однако, если я сделаю преобразование координат $u=\frac{1}{r}$ , то получаю:

г с^{2} "=" г (т) г т^{2} + р^{3} г {ты}^{2}

$ds^2=g(t)dt^2+r^3 du^2$

который больше не имеет сингулярности в $r=0$ .

Означает ли это, что сингулярность при $r=0$ просто артефакт выбора системы координат? Или нужно вычислить кривизну и посмотреть, есть ли особенность в кривизне?

Меня смущает, когда люди говорят, что сингулярность метрики Шварцшильда на горизонте событий не является сингулярностью, потому что на горизонте явно что-то происходит. Когда вы переходите к координатам Крускеля (T, X), метрика не сингулярна на горизонте, ну и что? Если вы рассчитаете $ds^2$ того, кто пересекает горизонт, то вы должны получить бесконечность в координатах (t, r) или (T, X), так что «сингулярность» на горизонте правильная и в метрике нет ничего дефектного быть бесконечностью в координатах Шварцшильда: метрика Шварцшильда дает правильную физику. С координатами Крускеля вы, кажется, смещаете бесконечность на горизонте в dX и dT, которые являются бесконечностью на горизонте, когда $dr\neq 0$ .

Кажется, что если у вас есть сингулярность в какой-то системе координат, то физически существует некоторая траектория, которая будет давать бесконечное собственное время, что указывает на то, что сингулярность физическая и может быть кем-то прочувствована на этой траектории.

ДилитийМатрица

Разница между «координатой» и «физической» сингулярностью. Это может быть полезно .

Хавьер

Собственное время пересечения горизонта конечно; Вы можете проверить это в координатах Шварцшильда.

Прахар

Кстати, в

(u, t)

$(u,t)$ координаты, которые у вас есть, все еще есть координатная сингулярность в

r = 0

$r = 0$ . Координатная сингулярность означает оба

g

$g$ и

g^{- 1}

$g^{-1}$ хорошо определены.

пользователь107153

Я думаю, что важный физический вопрос, который следует задать, заключается в следующем: происходит ли что-нибудь плохое с инерциальным наблюдателем на горизонте? Очевидно, что нет (в чистом ОТО). Так что любая «сингулярность» на горизонте должна быть неким артефактом нашего описания, а не физики. И это оказывается правдой: «сингулярность» в том, что мы используем гнилые координаты на горизонте.

Ответы (2)

Координатная сингулярность в метрике

Разница между «координатой» и «физической» сингулярностью. Это может быть полезно .
Собственное время пересечения горизонта конечно; Вы можете проверить это в координатах Шварцшильда.
Кстати, в $(u,t)$ координаты, которые у вас есть, все еще есть координатная сингулярность в $r = 0$ . Координатная сингулярность означает оба $g$ и $g^{-1}$ хорошо определены.
Я думаю, что важный физический вопрос, который следует задать, заключается в следующем: происходит ли что-нибудь плохое с инерциальным наблюдателем на горизонте? Очевидно, что нет (в чистом ОТО). Так что любая «сингулярность» на горизонте должна быть неким артефактом нашего описания, а не физики. И это оказывается правдой: «сингулярность» в том, что мы используем гнилые координаты на горизонте.

Альфред Центавр · Answer 1

Если вы вычислите ds2 кого-то, кто пересекает горизонт, вы должны получить бесконечность в координатах (t, r) или (T, X).

В контексте решения Шварцшильда, за исключением одного события, координаты Шварцшильда для горизонта отсутствуют; то есть для любого конечного $t$ , координаты (t, 2M) соответствуют одному событию на горизонте.

Но любые мировые линии, проходящие через это событие, в противном случае находятся в пределах прошлого и будущего горизонтов, поэтому координаты Шварцшильда неадекватны для описания «того, кто пересекает горизонт».

Координаты Крускала -Секереша неособы на горизонте, поэтому их можно использовать там. Для чисто радиального движения и на горизонте

г т^{2} "=" 16 М^{2} (г Т^{2} - г {Икс}^{2})

$d\tau^2 = 16M^2(dT^2 - dX^2)$

Однако, если я сделаю преобразование координат u=1/r

который не определен для $r=0$ .

Джим Бернс · Answer 2

Метрика Шварцшильда $ds^2=-(1-\frac{2m}{r})dt^2+(1-\frac{2m}{r})^{-1}dr^2$ . Наверное, если вы напишете $dt=\frac{dt}{dr}dr$ , где $\frac{dt}{dr}$ получается из решения геодезического уравнения, вы получаете, что $ds^2=f(r)dr^2$ , где $\int ds=\int^r_{r_0} \sqrt{f(r)}dr$ не имеет особенностей при $r=2m$ и на самом деле не имеет особенностей вплоть до $r=0$ .

С этой точки зрения система координат Шварцшильда хороша даже для $r=2m$ , но чтобы получить разумную физику, вы должны добавить уравнение геодезии.

Но если я составлю траекторию, не удовлетворяющую уравнениям движения (негеодезическую), я могу получить бесконечное собственное время. Например, $dt=0$ , $r_0=2m+2m$ , и пройдите по этой траектории вниз от $r_0=2m+2m$ к $r=2m+\epsilon$ , где $\epsilon$ бесконечно мала. Эта траектория взрывается, и не имеет значения, используете ли вы координаты Крускала или нет, поскольку $ds^2$ одинакова во всех системах координат. В координатах Крускала с метрикой все в порядке, но $dX$ и $dT$ , которые представляют собой линейные комбинации $dt$ и $dr$ (и $dt=0$ в моем примере так на самом деле просто функция $dr$ ) с коэффициентами, зависящими от $(r,t)$ : эти коэффициенты взрываются как $r \rightarrow 2m$ .

Таким образом, кажется, что и координаты Крускала, и координаты Шварцшильда взорвутся на горизонте, если вы не используете геодезическое уравнение.

Координатная сингулярность в метрике

Джим Бернс

ДилитийМатрица

Хавьер

Прахар

пользователь107153

Ответы (2)

Альфред Центавр

Джим Бернс

Почему естественная особенность r=0r=0r=0 в геометрии Шварцшильда является пространственноподобной?

Безмассовая черная дыра Керра

«Центр черной дыры — это время»

Почему метрика Шварцшильда равна 0 для света на горизонте событий?

Свободно падающий наблюдатель в метрике Шварцшильда

Черные дыры: когда какую метрику использовать

Откуда мы знаем, что решение Шварцшильда содержит объект массы МММ?

Символы Кристоффеля в координатах Крускала-Секереша [закрыто]

Физическая интерпретация координат Крускала-Секереша

Что происходит, когда метрическая функция меняет знак?