Ковариантные тензорные индексы Римана

Пытаюсь проследить расчет по бумаге, где, как мне кажется, происходит что-то странное с индексами в терминах продукта:Автор определяет тензор кривизны с ковариантными индексами. Автор помещает несимметричный индекс последним.

Как Г я с л Г Дж к с во второй строке становится − Г Дж к с г с т Г я л т в третьей строке? Это сводится к установке Г я с л "=" − Г я л с , учитывая определение. Но первые два индекса являются симметричными, и автор меняет местами один с последним индексом (например, [ я с , л ] "=" − [ я л , с ] ). Это не должно быть антисимметричным в целом.

Если вы знакомы с соединениями в общих пакетах, мы можем записать соединение как Г α β мю , где мю индекс 1-формы, но α и β являются индексами алгебры Ли – в этом случае г л ( н ) Индексы алгебры Ли. Для метрически совместимого соединения мы можем уменьшить г л ( н ) к С О ( 1 , н − 1 ) . Алгебра Ли матриц вращения состоит из антисимметричных матриц, в то время как то же самое верно и для преобразований Лоренца, если мы понизим индекс .
Будет ли математика лучшим домом для этого вопроса?
Просто посмотрите на формулы, которые вы сами записали. В формуле для Г я Дж к какая связь между Г я к Дж и Г я Дж к ?
Он симметричен по первым двум индексам, а третий является лишним. Так Г я Дж к "=" Г Дж я к , или [ я Дж , к ] "=" [ Дж я , к ] .

Ответы (1)

Понятно. Пришлось смотреть на производные термины. Использовать:

г я Дж , к "=" Г к я Дж + Г к Дж я
и
0 "=" ( дельта я Дж ) , к "=" ( г я с г с Дж ) , к "=" г я с , к г с Дж + г я с г , к с Дж ∴ г я с , к г с Дж "=" − г я с г , к с Дж
Затем:
р я Дж к л "=" г с л ( ∂ я Г Дж к с − ∂ Дж Г я к с ) + Г я с л Г Дж к с − Г Дж с л Г я к с "=" г с л [ ∂ я ( г с т Г Дж к т ) − ∂ Дж ( г с т Г я к т ) ] + Г я с л Г Дж к с − Г Дж с л Г я к с "=" г с л [ ( г , я с т Г Дж к т + г с т Г Дж к т , я ) − ( г , Дж с т Г я к т + г с т Г я к т , Дж ) ] + Г я с л Г Дж к с − Г Дж с л Г я к с "=" [ ( − г с л , я г с т Г Дж к т + дельта л т Г Дж к т , я ) − ( − г с л , Дж г с т Г я к т + дельта л т Г я к т , Дж ) ] + г с т ( Г я с л Г Дж к т − Г Дж с л Г я к т ) "=" Г Дж к л , я − Г я к л , Дж + г с т ( г с л , Дж Г я к т − г с л , я Г Дж к т + Г я с л Г Дж к т − Г Дж с л Г я к т ) "=" Г Дж к л , я − Г я к л , Дж + г с т [ Г я к т ( г с л , Дж − Г Дж с л ) − Г Дж к т ( г с л , я − Г я с л ) ] "=" Г Дж к л , я − Г я к л , Дж + г с т ( Г я к т Г Дж л с − Г Дж к т Г я л с ) "=" Г Дж к л , я − Г я к л , Дж + г с т ( Г я к с Г Дж л т − Г Дж к с Г я л т )

Ковариантные тензорные индексы Римана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v