Вычисление тензора Римана для 3-сферы

Вот способ найти тензор Римана трехмерной сферы с большим интеллектом, но без вычислений.

В любой момент$p$на сфере все направления выглядят одинаково. Поэтому не может быть привилегированного вектора в точке$p$. Теперь рассмотрим проблему собственных значений для тензора Риччи,

Теперь нам нужно быть еще умнее. Диагональный элемент$R_{\alpha\beta}x^\alpha x^\beta$тензора Риччи в$n$Размеры$(n-1)$умноженное на среднее значение кривизны сечения по плоскостям, содержащим$x^\alpha$, для$x_\alpha x^\alpha = 1$. Важно то, что секционная кривизна — это гауссова кривизна 2-поверхности, порожденной геодезическими, начинающимися в$p$. Какой может быть эта 2-поверхность? Это 2-поверхность, характеризующаяся постоянной кривизной (из-за всей имеющейся у нас симметрии) — это (некоторая часть) 2-сферы! Гауссова кривизна 2-сферы равна$1/r^2$. Таким образом$2/r^2 = \lambda g_{\alpha\beta}x^\alpha x^\beta = \lambda$и мы можем сделать вывод

Наверняка должен быть лучший подход, чем этот?

Конечно; это формализм Картана, использующий дифференциальные формы. Рассмотрим ваш случай сферы с метрическим тензором,

Мы можем выбрать ортонормированный базис$e^a$такой, что$ds^2 = \eta_{ab}e^{a}e^{b}$, и$e^a = e^a_\mu dx^\mu$. Для нашего случая:

Теперь мы можем использовать первое структурное уравнение,$^{1}$а именно$de^a + \omega^a_{b} \wedge e^b = 0$, чтобы вывести компоненты соединения$\omega^a_b$. Имея некоторый опыт, вы сможете прочитать их:

Второе структурное уравнение позволяет напрямую вычислить компоненты тензора Риччи$R^{a}_b$в ортонормированном базисе, а именно,$R^a_b = d\omega^a_b + \omega^a_c \wedge \omega^c_b$. Мы находим это,

При условии$R^a_{b} = R^a_{bcd} e^c \wedge e^d$, мы можем вычислить члены полного тензора Римана. Чтобы вернуться к нашему ортонормированному базису, мы можем использовать соотношение

Этим методом находим, например,$R^\theta_{r\theta r} = \sin^2 \theta$как и ожидалось для сферы. В общем, формализм Картана намного проще, чем прямое вычисление, но будьте особенно осторожны, когда:

1. Вывод связей из первого структурного уравнения; это не всегда просто;
2. Преобразование обратно к ортонормированному базису.

Отличное описание метода см. в лекциях профессора Рут Грегори по гравитационной физике, доступных на веб-сайте Perimeter Scholars.

$1$Фактически, структурное уравнение утверждает$de^a + \omega^a_b + e^b = T^a$, где$T^a$это кручение, но в общей теории относительности мы можем предположить$T^a = 0$. См. мой собственный вопрос: почему мы можем предположить, что кручение равно нулю в ОТО?

Я только что закончил статью «Геометрия 3-сферы», в которой в конце статьи я привожу простой вывод бивектора кривизны Римана для единичной 3-сферы, используя (Клиффорд) геометрическую алгебру. Я также обсуждаю группу Ли$SU(2)$и алгебра Ли$SU(2)$на единичной 3-сфере, используя мощную, но до сих пор малоизвестную геометрическую алгебру$G(4)$, геометрическая алгебра Паули$G(3)$, и кватернионы$H$, изоморфная четной подалгебре$G(3)$.

В трех измерениях все данные тензора Риммана содержатся в тензоре Риччи, поскольку тензор Вейля обращается в нуль. Поэтому достаточно вычислить тензор Риччи, а затем использовать приведенное здесь разложение.