Нахождение компонентов риманова тензора по компонентам метрики

Question

Нахождение компонентов риманова тензора по компонентам метрики

Утки

Я смотрю на многообразие измерения $n$ (И я рассматриваю местную систему координат $x_1,x_2,\ldots x_n$ ) и метрика, определяемая компонентами $g_{ij} = \frac{\delta_{ij}}{x_1^2}$ . Я хочу найти компоненты соответствующего тензора Римана. Это должно быть довольно простой задачей, но я не могу сопоставить свою работу с фактическим ответом.

Конечно $g^{ij} = x_1^2\delta^{ij}$ и у меня есть это $R^l_{ijk} = \frac{\partial}{\partial x^j} \Gamma^l_{ik} - \frac{\partial}{\partial x^k} \Gamma^l_{ij} + \Gamma^s_{ik}\Gamma^l_{sj} - \Gamma^s_{ij}\Gamma^l_{sk}$

И я также вывел это $\Gamma^l_{ij} = \frac{1}{2}g^{lm}(g_{im,j}+g_{jk,i}-g_{ij,m})$

Итак, я проделал сложную работу, и это должно быть просто вычисление, чтобы получить компоненты тензора Римана. Но я не могу получить свой ответ, чтобы соответствовать.

Может кто-нибудь помочь мне с расчетами, пожалуйста?

Ответы (1)

Нахождение компонентов риманова тензора по компонентам метрики

Вальтер Моретти · Answer 1

Ваша метрика конформно плоская:

г_{я Дж} "=" {Ом}^{2} {дельта}_{я Дж} Ом "=" {Икс}_{1}^{- 2}

$g_{ij} =\Omega^2 \delta_{ij}\qquad \Omega := x_1^{-2}$ и тензор Римана метрики

δ_{a b}

$\delta_{ab}$ исчезает. Из уравнения (D.7) в учебнике Вальда по общей теории относительности (где

{R_{a b c}}^{d}

${R_{abc}}^d$ обозначается

{\tilde{R}}_{a b c}^{d}

${\tilde{R}_{abc}}^d$ , тогда как у Уолда

{R_{a b c}}^{d} = 0

${R_{abc}}^d=0$ ):

{р_{а б с}}^{г} "=" - 2 {дельта}_{[а}^{г} \partial_{б]} п {Икс}_{1} + 2 {дельта}^{д е} {дельта}_{с [а} \partial_{б]} \partial_{е} п {Икс}_{1} + 2 (\partial_{[а} п {Икс}_{1}) {дельта}_{б]}^{г} \partial_{с} п {Икс}_{1}

${R_{abc}}^d = -2\delta^d_{[a}\partial_{b]} \ln x_1 + 2\delta^{de}\delta_{c[a}\partial_{b]}\partial_e \ln x_1 + 2(\partial_{[a} \ln x_1)\delta^d_{b]}\partial_c \ln x_1$

- 2 (\partial_{[а} п {Икс}_{1}) {дельта}_{б] с} {дельта}^{д ф} \partial_{ф} п {Икс}_{1} - 2 {дельта}_{с [а} {дельта}_{б]}^{г} {дельта}^{е ф} (\partial_{е} п {Икс}_{1}) \partial_{ф} п {Икс}_{1}

$- 2(\partial_{[a} \ln x_1)\delta_{b]c}\delta^{df}\partial_f \ln x_1 - 2\delta_{c[a}\delta^d_{b]}\delta^{ef}(\partial_e \ln x_1 )\partial_f \ln x_1$ Я думаю, что теперь вы можете легко завершить расчет. Кронштейн

[a, b]

$[a,b]$ означает, что вы должны антисимметрично относиться к фигурирующим в нем индексам.

Нахождение компонентов риманова тензора по компонентам метрики

Утки

Ответы (1)

Вальтер Моретти

Тензор Риччи для трехмерной сферы без математических пакетов

Ненулевые компоненты тензора Римана для метрики Шварцшильда

Вычисление тензора Римана для 3-сферы

Ковариантные тензорные индексы Римана

Как доказать, что нулевой тензор Вейля не предсказывает отклонения света?

Самый быстрый способ найти условия кривизны из заданной метрики [закрыто]

Доказательство тождества для специальной формы тензора Римана

Пространство Риндлера и тензоры

Как получается метрический тензор сферических координат? [закрыто]

Нахождение дивергенции в сферических координатах с помощью метрического тензора