Тензор Риччи для трехмерной сферы без математических пакетов

Пусть есть метрика для 3-сферы:

д л 2 "=" р 2 ( д ψ 2 + с я н 2 ( ψ ) ( д θ 2 + с я н 2 ( θ ) д ф 2 ) ) .
Я пытался вычислить компоненты тензора Римана или Риччи, но у меня с этим возникли проблемы.

В начале я получил выражения для символов Кристоффеля:

Г я я я "=" 1 2 г я я ∂ я г я я "=" 0 ,

Г Дж я я "=" 1 2 г я я ∂ Дж г я я ,

Г л л к "=" − 1 2 г к к ∂ к г л л ,

Г л Дж к "=" Г л к к дельта Дж к + Г Дж к к дельта л к + Г Дж Дж к дельта л Дж "=" 0.

Кривизна Риччи должна быть

р л Дж "=" 2 р 2 г л Дж .
Но когда я использую определение тензора Риччи,

р л Дж ( 3 ) "=" ∂ к Г л Дж к − ∂ л Г Дж λ λ + Г Дж л к Г к о о − Г л о к Г Дж к о ,
Я не могу связать выражение (если не ошибся)

р л Дж ( 3 ) "=" ∂ Дж Г л Дж Дж + ∂ л Г Дж л л + ∂ к Г л л к дельта Дж л − ∂ л Г Дж к к − Г Дж к к Г л Дж Дж + Г л к к Г Дж л л + Г к о о Г л л к дельта Дж л − Г Дж к к Г л к к − Г Дж л л Г л Дж Дж − Г к л л Г л л к дельта Дж л − Г л л Дж Г Дж Дж л − Г л л к Г к л л "="

"=" ∂ Дж Г л Дж Дж + ∂ л Г Дж л л + ∂ к Г л л к дельта Дж л − ∂ л Г Дж к к − Г Дж к к Г л Дж Дж + Г л к к Г Дж л л + Г к о о Г л л к дельта Дж л − Г Дж к к Г л к к − Г Дж л л Г л Дж Дж − 2 Г к л л Г л л к дельта Дж л − Г л л Дж Г Дж Дж л ,
где есть суммирование только по к , о , с выражением для метрического тензора.

Может быть, есть какие-то подсказки, которые могут помочь?

Почему бы вам не сделать это явно вместо этих символических манипуляций? У вас есть метрика (даже диагональная!), так что начните просто с вычисления символов Кристоффеля. Не существует волшебного способа превратить произвольную метрику в тензор Римана!
Возможный дубликат по OP: physics.stackexchange.com/q/62717/2451 . Пожалуйста, не публикуйте тот же вопрос в новой записи. Вместо этого отредактируйте старую запись.
Если вы не можете использовать программный пакет (потому что это домашнее задание), то лучше всего просто шаг за шагом работать с определениями, вместо того, чтобы пробовать что-то необычное сразу. После того, как вы сделали это один раз этим способом, изучите более приятный способ (Картан) и сделайте это один или два раза, а затем просто используйте программное обеспечение. :) Так что просто отрабатывайте компоненты один за другим. Однако я могу сказать одно: вы везде повторяете индексы. Будьте очень осторожны с тем, что суммируется, а что нет!
Это не домашнее задание, оно мне нужно для улучшения моих способностей. [:)]. Спасибо!

Ответы (2)

Я думаю, что есть метод, который я считаю довольно простым. Взглянем:

Есть такое понятие, как «нормальные римановы координаты». В этих координатах метрика расширяется вокруг начала координат, а коэффициенты разложения выражаются через тензор Римана. Предлагаю вам прочитать о них и проверить, в норме ли описанные ниже координаты. Всю необходимую информацию можно найти здесь .

Возьмите координаты Икс я , Икс "=" Икс я Икс я быть (я пишу р поэтому его нельзя спутать с р сокращение тензора Риччи):

ψ "=" Икс / р Икс 1 "=" р ψ грех ⁡ θ потому что ⁡ ф Икс 2 "=" р ψ грех ⁡ θ грех ⁡ ф Икс 3 "=" р ψ потому что ⁡ θ
Сравните его с обычными сферическими координатами в р 3 , мы знаем:
д Икс я д Икс я "=" р 2 д ψ 2 + р 2 ψ 2 ( д θ 2 + грех 2 ⁡ θ д ф 2 )
Таким образом, мы можем переписать вашу метрику как
д с 2 "=" грех 2 ⁡ ψ ψ 2 д Икс я д Икс я + р 2 д ψ 2 ( 1 − грех 2 ⁡ ψ ψ 2 ) "=" "=" р 2 грех 2 ⁡ ( Икс / р ) Икс 2 д Икс я д Икс я + ( Икс я д Икс я ) 2 Икс 2 ( 1 − р 2 грех 2 ⁡ ( Икс / р ) Икс 2 )

Теперь, если мы верим, что Икс я нормальные, то имеем:

г я к ( Икс ) "=" дельта я к − 1 3 р я а к б Икс а Икс б + . . .
Таким образом, вы можете просто расширить метрику и найти симметричную форму 1 2 ( р я а к б + р я б к а ) тензора Римана в начале координат, что достаточно, чтобы стянуть его к тензору Риччи. Хорошо, что это один и тот же уровень сложности (фактически «нормальная» метрика той же формы) в любом измерении. Как только вы найдете р я к ∼ г я к в этой системе координат оно выполняется в любой системе координат. И в силу симметрии сферы оно выполняется также в каждой точке.

Учитывая, что ваша метрика диагональная, это сильно упрощает эти вычисления. Однако тензор Риммана является таким объектом...

Во-первых, начните с символов Кристоффеля.

Г я к ℓ "=" 1 2 г я м ( г м к , ℓ + г м ℓ , к − г к ℓ , м )

Обратите внимание, что г я м "=" 0 для я ≠ м так что это упрощает

Г я к ℓ "=" 1 2 г я я ( г я к , ℓ + г я ℓ , к − г к ℓ , я )

а показатель не зависит ф так г мю ν , ф "=" 0 Поскольку 3-сфера является многообразием без кручения, имеет место следующая симметрия:

Г я к ℓ "=" Г я ℓ к

Подставьте все это в тензор Риммана.

р р о мю ν "=" ∂ мю Г р ν о − ∂ ν Г р мю о + Г р мю λ Г λ ν о − Г р ν λ Г λ мю о

а потом

р а б "=" р а с б с

Если вы не хотите вычислять тензор Риммана, просто сделайте следующее

р α β "=" р р α р β "=" ∂ р Г β α р − ∂ β Г р α р + Г р λ р Г β α λ − Г β λ р Г р α λ

Вы читали тело моего ответа? Я вывел общее выражение для тензора Риччи сферы (а также для гиперболоида). Мне нужно было только упростить его.
Тензор Риччи для трехмерной сферы без математических пакетов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v