Кривизна в пространстве Минковского? [закрыто]

В последнее время я думаю о том, как принцип эквивалентности составил ОТО и как я могу представить его как можно более элементарным в своей голове.

Таким образом, идея Эйнштейна тогда заключалась в том, что, имея инерциальную систему отсчета, связанную со свободно падающей пробной частицей (пробная частица вообще не испытывает гравитационного притяжения) в однородном гравитационном поле, мы можем изменить базис на неинерциальный. так что частица будет испытывать гравитационное притяжение, но дело в том, что эта пробная частица живет в пространстве Минковского, где кривизна равна нулю из-за того, что частица, описанная в неинерциальной системе отсчета, не чувствует своего веса. Кроме того, символы Кристоффеля существуют в пространстве Минковского, но кривизна равна нулю, следовательно, гравитационное поле фиктивное.

Итак, мы подошли к последней части, что я понял и что вам нужно подтвердить для меня, так это то, что когда мы активируем реальное гравитационное поле, мы переходим в риманово пространство и применяем принцип эквивалентности, где пространство-время локально похоже на пространство Минковского. .

Отредактировано: Основная цель здесь - убедиться, что я говорю правильно, поэтому я постараюсь быть более ясным и формальным.

Предположим, что пробная частица живет в пространстве Минковского. ( М 4 , η ) где кривизна р р λ мю ν "=" 0 но связь не обязательно Г "=" 0 , Другими словами, эта пробная частица находится в однородном гравитационном поле (HGF). сопоставляем этой частице инерциальную систему отсчета ( е 0 , е 1 , е 2 , е 3 ) последнее дает нам уравнение движения

д 2 Икс мю д т 2 "=" 0
Если перейти к другой неинерциальной системе отсчета ( е ′ 0 , е ′ 1 , е ′ 2 , е ′ 3 ) мы получаем
д Икс ′ мю д т + Г ~   ν λ мю д Икс ′ ν д т д Икс ′ λ д т "=" 0
Где Г ~   ν λ мю являются символами Кристоффеля, мы можем видеть, что в пространстве Минковского мы можем изменить базис и обнаружить, что появляется связь, которая означает, что гравитация на месте (но на самом деле она фиктивная) эта неинерциальная система отсчета описывает движение свободно падающей частицы.

Итак, мы видим, что когда мы меняем координаты в пространстве Минковского, мы обнаруживаем, что связь появляется, но кривизна по-прежнему равна нулю. Это означает, что когда мы действительно хотим активировать гравитацию, то есть перейти к общей теории относительности, нам нужно перейти к псевдоримановому многообразию. ( М , г ) с ненулевым тензором римановой кривизны.

Я не уверен, что вы на самом деле спрашиваете здесь. В частности, я не знаю, что вы подразумеваете под нулевой кривизной из-за того, что описываемая частица[...] не ощущает своего веса , и я не очень понимаю последний абзац (хотя ОТО рассматривает пространство-время как лоренцево , а не риманово многообразие).
Смысл ОТО не в том, чтобы пространство-время было Минковским, а в том, чтобы + − − − (или − + + + , в зависимости от вашего соглашения) подпись. Более общие варианты имеют кривизну, которая дает нам гравитацию.
Я голосую за закрытие, потому что это не похоже на вопрос.
@ПолТ. в основном это наблюдение, и вопрос таков: скажите мне, прав я или нет, думая обо всем этом. Я сказал это в последнем абзаце
@JG о да, но в моем посте речь идет не об общей теории относительности, а об опыте Эйнштейна и пространства Минковского, имеющего фиктивное гравитационное поле, выраженное символами Кристоффеля и кривизной. р "=" 0 при переходе к неинерциальной системе отсчета.
@intelligibleno В этом случае может помочь следующее наблюдение: в то время как скаляр Риччи р возможно 0 для некоторых искривленных пространств-времен тензор Римана р мю ν р о имеет все компоненты 0 во всех или ни в одной системе координат. Например, метрика Шварцшильда имеет р "=" 0 но неисчезающий тензор Римана.
@JG спасибо за это наблюдение, с которым я уже столкнулся на лекции. О, мимо р "=" 0 Я имею в виду не скаляр Риччи, а скаляр Римана.
@intelligibleno Тогда ваше предложение не работает: если бы тензор Римана исчез, мы не наблюдали бы доказательств того, что он не равен нулю, таких как гравитация, подобная Шварцшильду.
@JG Я могу возразить, сказав, что, когда мы рассматриваем пространство Минковского и уравнение движения в неинерциальной системе отсчета, как указано выше, мы можем ясно видеть, что неинерциальная система отсчета порождает фиктивное гравитационное поле, которое мы можем представить как Г .
@intelligibleno Я подозреваю, что вы смешиваете «Я могу превратить это в то в локальном патче с подходящим преобразованием координат для конкретного патча» с «Я могу превратить это в это глобально с результатом одного преобразования координат».
Позвольте мне предложить отредактировать ваш предпоследний абзац (тот, что непосредственно перед «Хорошо ли мое рассуждение?»), и вы скажете мне, согласны ли вы с моим редактированием. Мои изменения выделены жирным шрифтом. «Итак, мы видим, что когда мы меняем координаты в пространстве-времени Минковского, мы обнаруживаем, что связь появляется, но кривизна по-прежнему равна нулю. Это означает, что когда мы действительно хотим активировать гравитацию, то есть переходим к общей теории относительности, нам нужно перейти к многообразию. ( М , г ) с ненулевым тензором римановой кривизны .
@ Эндрю, да, почему бы и нет, это почти та же идея, но немного яснее.
Ну... это не одно и то же. «Кадр» против «координаты» в основном является предпочтением. Но «многообразие Лоренца» - это такое, в котором метрика имеет собственные значения − 1 , 1 , 1 , 1 (или 1 , − 1 , − 1 , − 1 если вы используете неправильные соглашения :)), и, в частности, пространства-времена с ненулевой римановой кривизной по-прежнему являются лоренцевыми многообразиями. Также «риманово многообразие» имеет метрику с собственными значениями + 1 , + 1 , + 1 , + 1 , поэтому никакое пространство-время не является римановым многообразием, даже пространство Минковского. Я согласен с вашим утверждением, если вы имеете в виду что-то эквивалентное моему редактированию, но я думаю, что комментарии, которые вы получили, были вызваны неточным использованием языка.
@Andrew О, да, я должен использовать псевдориманово многообразие вместо «риманова многообразия», вы совершенно правы, и для лоренцева многообразия у вас есть хорошая мысль, я путал лоренцево многообразие с пространством Минковского, спасибо за это.

Ответы (1)

Мне кажется, что вы в основном правы в своих рассуждениях. Однако похоже, что вы (по крайней мере частично) связываете гравитацию с неисчезающими символами Кристоффеля, что, возможно, стоит прокомментировать.

Гравитация связана с искривлением пространства-времени, а поскольку пространство-время искривлено в соответствии с содержанием энергии, мы иногда говорим, что в пустом (то есть Минковского) пространстве-времени гравитации нет.

Теперь многие математические основы дифференциальной геометрии обычно связаны с общей теорией относительности (а не со специальной теорией относительности). Однако такие вещи, как символы Кристоффеля, геодезические уравнения, ковариантные производные, на самом деле не специфичны для ОТО, они могут появляться и в СТО. Новым в ОТО является неисчезающий тензор кривизны (который в СТО всегда равен нулю).

Причина, по которой люди обычно узнают о таких вещах, как символы Кристоффеля или ковариантные производные, только при изучении ОТО, заключается в том, что вы можете выполнять всю СТО в инерциальных координатах, где коэффициенты связи равны нулю, а ковариантные производные являются обычными частными производными. Но если бы вы изучали СТО в произвольных системах координат, вы столкнулись бы со всеми этими объектами (кроме тензора кривизны), продолжая заниматься СТО.

Подводя итог, дело в том, что этот материал обычно выглядит следующим образом: специальная теория относительности в инерциальных координатах (в которой никогда не встречаются символы Кристоффеля или ковариантные производные), затем общая теория относительности (где встречаются символы Кристоффеля, ковариантные производные, тензор кривизны и др.). Такой способ обучения может заставить думать, что все эти объекты специфичны для ОТО (и, следовательно, заставить их ассоциировать их с гравитацией).

Однако этот материал можно изучать и следующим образом: специальная теория относительности в инерциальных координатах, затем специальная теория относительности в произвольных координатах (где встречаются такие вещи, как символы Кристоффеля и ковариантные производные), затем общая теория относительности (где появляется тензор кривизны). Это делает более ясным, что только тензор кривизны специфичен для ОТО, а не символы Кристоффеля и ковариантные производные.

Хорошо видеть это, записывая плоскую метрику Минковского, например, в сферических координатах. Затем можно легко вычислить неисчезающие символы Кристоффеля. Однако тензор кривизны обращается в нуль. Символы Кристоффеля содержат информацию как о кривизне, так и о криволинейных координатах. Объединение их в тензор кривизны изолирует первый.
Я полностью разделяю вашу точку зрения и хочу сделать замечание: я назвал символы Кристоффеля фиктивным гравитационным полем из-за того, что мы находимся в неинерциальной системе отсчета и движение будет описываться в ньютоновской механике фиктивной силой.
Да я как-то понял, что ты имеешь в виду. Однако я старался избегать называть символы Кристоффеля фиктивным гравитационным полем, поскольку не уверен, что это общепринятая терминология.
Кривизна в пространстве Минковского? [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v