Фейнмановская формулировка квантовой механики в виде интеграла по путям основана на следующих двух постулатах:
Если выполняется идеальное измерение, чтобы определить, имеет ли частица путь, лежащий в области пространства-времени, вероятность того, что результат будет положительным, равна абсолютному квадрату суммы комплексных вкладов, по одному от каждого пути в области.
Пути вносят одинаковый вклад по величине, но фаза их вклада является классическим действием, т. е. временным интегралом лагранжиана, взятого вдоль пути.
Предположим, что эти постулаты настолько естественны, насколько это возможно, т. е. они не являются дистиллированной версией чего-то более элементарного. Если это так, то как объяснить с точки зрения непрофессионала, как из этих двух постулатов возникают дискретные уровни энергии, например, в гармоническом осцилляторе? Есть ли качественные ответы?
Я не уверен, что вы ожидаете от качественных примеров с точки зрения непрофессионала. Амплитуда эволюции во времени от одной точки к другой,
В частности, классическое действие для осциллятора из приведенной выше ссылки на WP составляет
Таким образом, пропагатор, вышеуказанная амплитуда, может быть оценена из функционального интеграла как
Это выражение также равно обычному пропагатору гильбертова пространства в терминах функций Эрмита,
Перепишите это как
The Фурье-моды R(T) , затем умножающие этот 0-точечный предфактор энергии, можно сравнить со стандартным разложением резольвенты по собственному состоянию в гильбертовом пространстве, чтобы убедить вас в стандартном квантованном спектре квантового осциллятора,
Здесь, столкнувшись с дискретностью, вам нужно только оценить существенную периодичность системы, ту компактность, которая принуждает вас к гармонической структуре: волнистость системы; и что большая часть этого прослеживается до классического действия в этой (несколько исключительной) квадратичной гамильтоновой парадигме.
В своем учебнике для начальных классов Фейнман и Хиббс прекрасно разобрали это в Probs 2-2, 3-8 (уравнения 2-9,3-59) и «всплеск» в уравнениях (8-12), (8-13). (Они даже идут смехотворно дальше этого, пытаясь заставить вас «увидеть», как ядро Мелера деконструирует себя до полиномов Эрмита, что, на мой взгляд, заходит слишком далеко в запросах вашего типа.) В любом случае, следование простой математике на самом деле менее непонятно. чем резюмировать его в словоблудии «код».
Поскольку это концептуальный вопрос, возможно, на него нужен простой концептуальный ответ:
Интеграл Фейнмана по путям можно представить как интеграл от по всем возможным путям. Обратите внимание в показателе степени, что заставляет подынтегральную функцию быть периодической по отношению к значению S (которое является действительным). Установка вариации интеграла равной нулю выделяет дискретные наборы путей. Я считаю, что это самый простой способ понять дискретность энергетических состояний в осцилляторе (энергия которого тесно связана с S).
По симметрии
Джон Ренни
Qмеханик
Кнчжоу
Стефан Ролланден