Полуклассический предел квантовой механики

Во-первых, классические и полуклассические прилагательные не совсем синонимы. «Полуклассический» означает трактовку квантовой системы, часть которой описывается классически, а другая часть — квантово-механически. Поля могут быть классическими, положения частиц внутри полей квантово-механическими; метрическое поле может быть классическим, а другие материальные поля — квантово-механическими и т.д.

Кроме того, мы часто рассматриваем «квантовую часть» квазиклассического подхода в другом приближении, где мы берем ведущее классическое поведение плюс только первую квантовую поправку. Таким образом, для этой части системы «полуклассический» означает «однопетлевое приближение» (как в приближении ВКБ).

Теперь можно показать, что законы квантовой механики подразумевают законы классической физики для всех «классических вопросов», когда бы они ни возникали.$\hbar\to 0$. Более правильно,$\hbar\to 0$действительно означает$J / \hbar \to \infty$для всех нормальных «угловых моментов»$J$, действия$S$(вместо$J$), а все остальное в тех же единицах. Так что да, действительно,$\hbar\to 0$классический предел и предел больших квантовых чисел — это одно и то же. Не кошерно спрашивать, является ли размерная величина, такая как$\hbar$намного меньше единицы; мало ли числовое значение, зависит от единиц измерения. Таким образом, мы должны сделать эти утверждения об «очень малом» или «очень большом» безразмерными, и поэтому нам нужно не просто$\hbar$но и$J$или же$S$реальной проблемы, и поэтому все неравенства, диктующие классический предел, которые вы упомянули, эквивалентны.

В этом пределе спектры становятся настолько плотными, что наблюдаемые (например, энергия атома водорода) фактически непрерывны, даже если они дискретны в точной квантовой обработке. Уравнения движения Гейзенберга для операторов сводятся к классическим уравнениям движения. Декогеренция гарантирует, что при некотором окружении диагональные элементы матрицы плотности могут интерпретироваться как классические вероятности, а недиагональные быстро стремятся к нулю. Мы всегда можем представить себе, что волновые функции в этом пределе представляют собой «узкие пакеты», ширина которых пренебрежимо мала и центр которых движется согласно классическим уравнениям. Это просто работает.

Следует понимать все аспекты этого доказательства того, что «классическая физика есть предел квантовой механики», что она предполагает, как мы должны задавать вопросы и переводить их из одного формализма в другой и так далее. Но, в конце концов, тот факт, что это утверждение верно, важнее некоторых технических деталей доказательства.

Исторически сложилось так, что уравнение Гамильтона-Якоби является способом описания классической физики, потому что оно было открыто и доказано эквивалентным классической физике задолго до того, как впервые появилась квантовая теория. Математически вы можете видеть, что уравнение Гамильтона-Якоби содержит только те величины, которые мы действительно можем измерить с помощью классических приборов, таких как$S,t,V,m$д., и это не зависит от$\hbar$вообще — даже если вы используете, например, единицы СИ — что доказывает, что уравнение не зависит от квантовой механики.

Можно много чего сказать о классическом пределе квантовой механики и некоторых более конкретных классах квантово-механических теорий, см., например,

http://motls.blogspot.com/2011/11/how-classical-fields-particles-emerge.html?m=1

Есть математически строгие результаты, касающиеся квазиклассического предела квантовых теорий. На самом деле это постоянная и интересная тема исследований в области математической физики. Однако, чтобы понять результаты, нужно хорошо разбираться в анализе. Библиография довольно обширна, но я хотел бы упомянуть следующие (некоторые довольно старые) результаты:

Конечномерное фазовое пространство (квантовая механика):

• Hepp 1974 Метод когерентных состояний.

• Хелффер, Мартинес и Роберт , 1987 г., на французском языке . Использует так называемый подход меры Вигнера.

• Фигалли, Лигабо, Пол 2010 . Современный подход к мерам Вигнера при работе с грубыми потенциалами.

Бесконечномерное фазовое пространство (бозонная КТП)

• Джинибре и Вело, 1979 г. Расширение работы Хеппа до бесконечных измерений.

• Аммари и Нир 2007 Бесконечномерные меры Вигнера.

• Иерархия BBGKY: обзор Голса (предел среднего поля, математически эквивалентный полуклассическому пределу)

Кроме того, эти слайды Фрэнсиса Нира могут оказаться полезными для быстрого обзора конечномерных и бесконечномерных мер Вигнера.

Я не буду пытаться объяснять идеи, потому что это было бы очень технично и очень долго. Не вдаваясь в подробности, я могу сказать вам, что они строго исследуют предел$\hslash\to 0$(или эквивалентным образом также, когда$N\to \infty$, куда$N$число частиц в системе), чтобы доказать, что линейная унитарная квантовая динамика в пределе сводится к нелинейной классической динамике. Извините, но у меня нет времени, чтобы сказать больше, чем это ;-)