Квантование свободного вещественного скалярного безмассового поля в 2d

Есть ли ссылка на литературу, где явно строится квантование свободного вещественного скалярного безмассового поля в двумерном пространстве-времени? В частности, как выглядит пропагатор?

Случай 4d рассматривается во многих стандартных учебниках по КТП, но случай 2d кажется другим из-за дополнительных расхождений, которых нет в более высоких измерениях.

Например, используя уравнение ◻ Икс ⟨ Т ф ( Икс ) ф ( у ) ⟩ "=" дельта ( 2 ) ( Икс − у ) и по аналогии со случаем 4d (правило Фейнмана) можно ожидать, что пропагатор должен быть пропорционален

1 п 2 + я ε "=" 1 ( п 0 ) 2 − ( п 1 ) 2 + я ε .
Однако в 2d эта обобщенная функция не определена корректно, т. е. расходится как ε → + 0 (расходится даже его мнимая часть).

ДОБАВИТЬ: Давайте докажем вышеприведенное утверждение, что мнимая часть расходится. У нас есть

я м ( 1 п 2 + я ε ) "=" 1 2 я ( 1 п 2 + я ε − 1 п 2 − я ε ) "=" − ε ( п 2 ) 2 + ε 2 .
Позволять ф ( п ) — гладкая неотрицательная функция, равная 1 в единичном шаре и обращающаяся в нуль вне некоторого большего шара. Затем
− ∫ д п 2 я м ( 1 п 2 + я ε ) ⋅ ф ( п ) "=" ∫ д 2 п ε ( п 2 ) 2 + ε 2 ⋅ ф ( п ) "=" ∫ д 2 п 1 ( п 2 ) 2 + 1 ⋅ ф ( ε п ) ,
где последнее равенство получается заменой переменных п ↦ ε п . Как ε → + 0 , последний интеграл становится не менее

∫ д 2 п 1 ( п 2 ) 2 + 1 .
Покажем, что это бесконечно. Сделаем замену переменных Икс "=" п 0 − п 1 , у "=" п 0 + п 1 . Тогда последний интеграл равен
1 2 ∫ д Икс д у 1 ( Икс у ) 2 + 1 "=" 1 2 ∫ д у ∫ д Икс ( Икс у ) 2 + 1 "=" 1 2 ∫ д у 1 | у | ( ∫ д г г 2 + 1 ) "=" ∞ ,
где второе равенство получается заменой переменных x=z/|y|$. Результат доказан.

Не могли бы вы уточнить расхождения, которые вы имеете в виду?
@SRS: я добавил об этом комментарий. Однако я думаю, что есть и другой путь, ведущий к расхождениям, который основан на вычислениях, а не на аналогиях, но для его объяснения потребовалось бы гораздо больше места.
Возьмите любую книгу по теории струн или 2d CFT (но в основном по первой). Первая или вторая нетривиальная глава будет об этом.
Во-вторых, я не понимаю, в чем проблема с записанным вами пропагатором. Это прекрасно (в импульсном пространстве). О каком отклонении вы говорите??
@Prahar: я добавил доказательство расхождения. Было бы здорово иметь более точную ссылку на книгу.
@MKO: вы только что заново открыли дельта-функцию Дирака...
@Адам: - ??????
@ Адам: Понятно. Но я не уверен, что это был основной вопрос моего вопроса, хотя есть некоторое совпадение: мы оба используем похожие выражения (которые я не открывал заново...).
@MKO: В чем вопрос? Пропагандист в порядке...
@ Адам: Нет, не хорошо. Повторюсь, что суть вычислений в моем посте в том, что выражение 1 п 2 + я ε (как ε → + 0 ) не имеет смысла в двумерном пространстве-времени. Однако в более высоких измерениях это имеет смысл.
Вам нужно взять предел ϵ → 0 после вычисления

Ответы (1)

Я смог найти ответ на свой вопрос в литературе. Ссылка: А. С. Вайтман, «Введение в некоторые аспекты квантования полей», в «Лекциях, Летняя школа Карджезе, 1964».

В нижней части с. 204 Вайтман пишет: «…нет такого математического объекта, как свободное скалярное поле с нулевой массой в двумерном пространстве-времени, если не отказаться от одного из обычных предположений». Затем он показывает, что можно отказаться от предположения о положительности скалярного произведения в гильбертовом пространстве, и строит квантование свободного безмассового скалярного поля в «гильбертовом» пространстве с индефинитной метрикой.

Позвольте мне повторить аргумент, объясняющий приведенную выше цитату. Позволять ф ( Икс ) быть таким полем. Рассмотрим функцию ⟨ 0 | ф ( Икс ) ф ( у ) | 0 ⟩ ≡ Ф ( Икс − у ) . Это удовлетворяет ◻ Ф "=" 0 . Его преобразование Фурье Ф ~ является лоренц-инвариантным распределением, удовлетворяющим п 2 Ф ~ ( п ) "=" 0 и поддерживается на п 0 ≥ 0 . Следовательно Ф ~ опирается на объединение двух полупрямых { п 0 "=" п 1 , п 0 ≥ 0 } и { п 0 "=" − п 1 , п 0 ≥ 0 } . Более того, если скалярное произведение положительно определено, то Ф ~ является неотрицательной мерой. Однако можно показать, что любая неотрицательная лоренц-инвариантная мера, которая поддерживается на двух указанных выше полупрямых, должна быть пропорциональна дельта ( 2 ) ( п ) . Что означает, что Ф ( Икс − у ) "=" с о н с т .

Напоследок добавлю, что я нашел еще один источник (который я подробно не изучал), где авторы, по-видимому, утверждают, что можно проквантовать свободное безмассовое скалярное поле в 2d, если сохранить положительную определенность скалярного произведения, но отказаться от предположение, что вакуумный вектор имеет конечную норму. См. Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодоров "Общие принципы КТП", раздел 11.1.

Coleman 1973 также является источником понимания.
Квантование свободного вещественного скалярного безмассового поля в 2d
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v