Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

Question

Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

RC

Я много раз читал и слышал, что векторное поле в неабелевой калибровочной теории, которое приобрело массу благодаря механизму Хиггса, экспоненциально уменьшается в силе с расстоянием по мере распространения. Буду благодарен за краткое объяснение подхода и результата и, если возможно, ссылку на подробное лечение.

Моя попытка:

Я ожидал найти доказательства такого поведения в пропагаторе массивного векторного бозона, который можно записать в унитарной калибровке

\frac{г_{мю ν} - к_{мю} к_{ν} / м^{2}}{к^{2} - м^{2}} .

$\frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2}.$

Я хотел бы преобразовать Фурье это в позиционное пространство, поэтому я интегрирую следующий термин за термином

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{г_{мю ν} - к_{мю} к_{ν} / м^{2}}{к^{2} - м^{2}} е^{2 π я к_{мю} {Икс}^{мю}} г^{4} к .

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2} e^{2\pi i k_{\mu}x^{\mu}} d^4k.$

У меня есть три типа терминов для интеграции:

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{к^{2} - а^{2}} е^{2 π я к Икс} г к

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{к}{к^{2} - а^{2}} е^{2 π я к Икс} г к

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{к^{2}}{к^{2} - а^{2}} е^{2 π я к Икс} г к

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k^2}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

Но я получаю расхождения в этих интегралах, и я не знаю, куда идти дальше.

Любопытный Разум

Это не имеет ничего общего с (неабелевой) калибровочной теорией, вы просто пытаетесь вычислить, что сила, передаваемая массивным векторным бозоном, имеет потенциал Юкавы., и вы, кажется, просто спрашиваете, кто будет решать эти интегралы, которые будет выглядеть не по теме в соответствии с нашей политикой домашних заданий .

RC

Меня интересует не конкретно решение интегралов, а метод/подход к показу экспоненциального убывания массивных компонент калибровочного поля. Я написал, что я сделал до сих пор в поисках ответа с помощью одного подхода, чтобы показать, что я думал о проблеме, но я хотел бы понять общий принцип. FWIW, это не домашнее задание, я изучаю тему в качестве фона и хочу концептуально понять происхождение экспоненциального распада массивных компонентов калибровочных полей. Спасибо за ваш комментарий.

Ответы (1)

Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

Это не имеет ничего общего с (неабелевой) калибровочной теорией, вы просто пытаетесь вычислить, что сила, передаваемая массивным векторным бозоном, имеет потенциал Юкавы., и вы, кажется, просто спрашиваете, кто будет решать эти интегралы, которые будет выглядеть не по теме в соответствии с нашей политикой домашних заданий .
Меня интересует не конкретно решение интегралов, а метод/подход к показу экспоненциального убывания массивных компонент калибровочного поля. Я написал, что я сделал до сих пор в поисках ответа с помощью одного подхода, чтобы показать, что я думал о проблеме, но я хотел бы понять общий принцип. FWIW, это не домашнее задание, я изучаю тему в качестве фона и хочу концептуально понять происхождение экспоненциального распада массивных компонентов калибровочных полей. Спасибо за ваш комментарий.

пользователь2309840 · Answer 1

Mathematica довольно быстро справится с этими интегралами. Или их можно найти в учебнике по теории поля. Я считаю, например, что преобразование Фурье $1/(k^2+m^2)$ обсуждается в связи со скалярными полями и уравнением Клейна-Гордона в первых нескольких главах Пескина и Шредера, по крайней мере, в лоренцевских условиях.

Другой вопрос, почему преобразование Фурье этого пропагатора вообще связано с потенциалом Юкавы. Если бы я попытался вывести его, я бы вычислил обмен массивного вектора на уровне дерева в теории поля. Затем я попытался бы выяснить, какой потенциал в приближении Борна в нерелятивистской квантовой механике привел бы к такому же рассеянию. Здесь немного другой ответ .

Начнем с первого интеграла

я "=" \int г^{4} к \frac{е^{я к \cdot Икс}}{к^{2} + м^{2}} .

$I = \int d^4k \frac{e^{i k\cdot x}}{k^2 + m^2} \ .$ Обратите внимание, что я перевернул знак

m^{2}

$m^2$ срок. Это потому, что я хочу сделать интеграл в евклидовой сигнатуре. Я могу адаптировать

k

$k$ -система координат так, чтобы

x

$x$ точки в полярной или "

z

$z$ ''-направление. Затем я могу разбить коэффициент измерения в сферических координатах

г^{4} к "=" к^{3} г к {грех}^{2} θ г θ г {Ом}_{2} .

$d^4 k = k^3 dk \, \sin^2 \theta d \theta \, d \Omega_2 \ .$ Последний

d Ω_{2}

$d\Omega_2$ является мерой

S^{2}

$S^2$ с единичным радиусом. Поскольку от этих углов ничего не зависит, они будут интегрироваться, чтобы дать

4 π

$4 \pi$ . Давайте сосредоточимся на

θ

$\theta$ интеграл. Математика говорит нам

\int_{0}^{π} е^{я к Икс потому что θ} {грех}^{2} θ г θ "=" \frac{π}{к Икс} {Дж}_{1} (к Икс) .

$\int_0^\pi e^{i k x \cos \theta} \sin^2 \theta \, d \theta = \frac{\pi}{kx} J_1(kx) \ .$ Mathematica также займется окончательным

k

$k$ -интеграл

я "=" \frac{4 π^{2} м}{Икс} К_{1} (м Икс) .

$I = \frac{4 \pi^2 m}{x} K_1(m x) \ .$ Если мы расширим функцию Бесселя-К для большого аргумента, мы найдем желаемое экспоненциальное поведение

я "=" е^{- м Икс} (π^{5 / 2} м^{1 / 2} {(\frac{2}{Икс})}^{3 / 2} + О ({Икс}^{- 2})) .

$I = e^{-m x} \left( \pi^{5/2} m^{1/2} \left(\frac{2}{x} \right)^{3/2} + O(x^{-2}) \right) \ .$

Трюк для $k_\mu k_\nu$ интеграл состоит в том, что его можно получить, взяв $x$ производные от первого интеграла. Но это даст аналогичное экспоненциально затухающее поведение на больших $x$ .

Спасибо, это очень полезно с интегралами. Не могли бы вы уточнить приложение или раздел книги Пескина и Шредера, в котором обсуждается массивный векторный пропогатор в пространственном представлении? Я был бы признателен за возможность прочитать полное обсуждение в учебном тексте. Мне не удалось найти/распознать обсуждение этого вопроса ни в шести коротких приложениях P&S, ни в разделах 20.1 (Механизм Хиггса; неабелевы примеры), Глава 21: Квантование спонтанно нарушенных калибровочных теорий 21.1: $R_{\xi}$ Датчики, неабелев анализ, или 21.3: Амплитуды вакуумной поляризации.
У меня сейчас нет с собой P&S, и вы, наверное, правы, если подумать, что они вычисляют интегралы в приложениях без $e^{ikx}$ фактор.
Не могли бы вы перечислить ссылку, в которой подробно рассматривается (или указать место в P&S) экспоненциальное поведение массивного векторного поля по мере его распространения? Является ли это поведение обычно производным от пропагатора, как вы показали выше, или оно обычно проявляется более непосредственно из самих уравнений поля? Заранее спасибо.
Стандартный трюк, который я знаю, состоит в том, чтобы подумать о процессе обмена на уровне дерева в теории поля между двумя заряженными объектами, в котором участвует массивный векторный бозон. Затем для соответствующего процесса в нерелятивистской квантовой механике задают вопрос, какой потенциал вызовет подобное рассеяние с использованием борновского приближения. Это сравнение в ведущем порядке сводится к преобразованию Фурье пропагатора. Для фотона этот расчет, как мне кажется, обсуждается в релятивистской квантовой механике Ландау и Лифшица. Но добавление массы к фотону не должно сильно изменить ситуацию.

Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

RC

Любопытный Разум

RC

Ответы (1)

пользователь2309840

RC

пользователь2309840

RC

пользователь2309840

Контурный интеграл пропагатора Фейнмана

Представление спектра течений Дирака

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Понимание функции Евклида Грина

Получение фотонного пропагатора

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Получение фотонного пропагатора

Поправка к скалярному пропагатору - производная связь

Квантование свободного вещественного скалярного безмассового поля в 2d