Квантовый эффект Холла для чайников

В последние несколько дней меня все больше интересует QHE, в основном благодаря очень интересным вопросам и ответам, которые появились здесь. К сожалению, я до сих пор очень сбит с толку всеми (на первый взгляд разрозненными) вещами, которые я узнал.

Во-первых, вот несколько случайных точек, которые мне удалось собрать.

  1. I(целое)КЭХ возникает из-за наличия уровней Ландау
  2. ИКЭХ является воплощением топологического порядка, а состояния характеризуются числом Черна, что говорит нам о топологически неэквивалентных гамильтонианах, определенных в зоне Бриллюэна.
  3. IQHE требует незначительных электрон-электронных взаимодействий и поэтому зависит от присутствия примесей, которые экранируют от кулоновской силы.
  4. F(рациональный)КЭХ возникает из-за образования анионов. В этом случае кулоновским взаимодействием нельзя пренебречь, но оказывается, что возникает эффективное невзаимодействующее описание с частицами, подчиняющимися парастатистике и имеющими дробный заряд
  5. FQHE снова имеет какое-то отношение к топологии, TQFT, теории Черна-Саймонса, группам плетения и многим другим вещам.
  6. FQHE как-то связан с состояниями иерархии

Итак, вот вопросы

  • Самое главное, имеют ли эти пункты смысл? Пожалуйста, исправьте все ошибки, которые я допустил, и/или заполните другие важные замечания.
  • Как сочетаются объяснения 1. и 2. ИКЭХ? Квантование Ландау говорит только об электронных состояниях, тогда как топологическая картина вообще их не упоминает (их следует заменить глобальными топологическими состояниями, устойчивыми к возмущениям)
  • Как связаны друг с другом объяснения 4., 5. и 6.
  • Есть ли доступная вводная литература по этим вопросам?
  • Имеют ли IQHE и FQHE что-либо общее (кроме последних трех букв), чтобы, например, IQHE можно было рассматривать как частный случай? Насколько я понимаю (на основе 3.), это не так, но несколько моментов намекают на противоположное направление. Вот почему я спрашиваю об обоих QHE в одном вопросе.
Купите копию «Composite Fermions» Джайна и запечатайте себя в уютной комнате с большим количеством закусок. Вы выйдете просветленным.
Хотя я уважаю работы Джайна, стоит отметить, что его книги явно представляют собой предвзятый взгляд на проблему и не обязательно отражают консенсус сообщества! Тем не менее, составная картина фермионов хороша своей интуитивностью и помогает построить ментальную картину. Кстати, стоит отметить, что некоторая недавняя литература по топологическим изоляторам действительно содержит одни из самых чистых изложений ИКЭХ.
@genneth Я думаю, вы могли иметь в виду полемику по поводу теории «составных фермионов». Д-р Джейн фактически рассматривает этот вопрос в своей книге. Несмотря на очевидную склонность Джайна к продвижению собственной точки зрения, я думаю, что эта книга остается лучшим введением в физику квантового эффекта Холла.

Ответы (4)

О боже, трудно понять, с чего начать. Позвольте мне начать и посмотреть, где я выдыхаюсь. Я пойду по тому порядку, в котором вы написали свои вопросы, и сделаю комментарии:

  1. Когда вы квантуете электроны в магнитном поле, вы получаете уровни Ландау: дискретные уровни энергии, которые сильно вырождены. Вы можете представить себе каждую из них как электрон, движущийся по кругу, радиус которого квантуется (определяется уровнем Ландау) и центр которого может находиться где угодно (что приводит к вырождению). Вопреки некоторым дискуссиям, которые вы иногда слышите, это само по себе НЕ приводит к квантованной холловской проводимости.

  2. Для целочисленного КЭХ следующим важным шагом является наличие случайного потенциала, обеспечиваемого примесями. Тогда можно показать, что каждый уровень Ландау вносит фиксированное значение в проводимость Холла, и, следовательно, эта проводимость подсчитывает количество заполненных уровней Ландау. Тот факт, что это надежно, связан с топологией, числом Черна и прочими хорошими вещами.

  3. Другое дело ДКЭХ, для которого холловская проводимость может быть дробной. Единственное, что общего у IQHE и FQHE, — это конечный физический эффект, но механизм сильно различается. Для дробного эффекта вам нужны очень чистые образцы, поскольку он обусловлен сильными кулоновскими взаимодействиями между вырожденными электронами на каждом уровне Ландау. Это сложная по своей сути проблема, и на самом деле она была решена только догадкой — волновой функцией Лафлина.

  4. EFT, описывающий низкоэнергетические возбуждения, связан с теорией Черна-Саймонса, и эти основные возбуждения подчиняются анионной статистике. Помимо этого, я думаю, что все другие эффекты, которые вы упомянули (например, состояния иерархии), могут быть описаны как «особые темы».

Наконец, я всего лишь скромный теоретик высоких энергий, поэтому подожду поправок и более полной картины от специалистов. Тем не менее, это было весело писать.

(Между прочим, все это хорошо известные вещи, встречающиеся в учебниках, хотя и не всегда организованно. Один хороший источник: Майк Стоун редактировал сборник статей по этому предмету, для которого он подготовил серию вводных статей. Если вы найдете эта книга, эти введения очень хороши.)

Большое спасибо! Я посмотрю это вступление и (надеюсь) позже задам более конкретные вопросы. Но прямо сейчас я просто не знал, с чего начать, так как тема QHE кажется довольно большой.
Этот ответ очень, очень хорош!

Вот некоторые комментарии по пунктам:

1) I(целочисленный)КЭХ возникает из-за наличия уровней Ландау

Да

2) ИКЭХ является воплощением топологического порядка и состояния характеризуются числом Черна, что говорит нам о топологически неэквивалентных гамильтонианах, определенных на зоне Бриллюэна

ИКЭХ является примером топологического порядка, хотя топологический порядок вводится в основном для описания ДКЭХ. Характеристика ИКЭХ числом Черна энергетической зоны работает только для невзаимодействующих фермионов без примеси, в то время как ИКЭХ существует даже для взаимодействующих фермионов. Так что IQHE больше, чем число Черна энергетической зоны. Возбуждения квазичастиц в состояниях IQH всегда являются фермионами.

3) IQHE требует незначительных электрон-электронных взаимодействий и поэтому зависит от присутствия примесей, экранирующих кулоновскую силу.

ИКЭХ не требует пренебрежимо малых электрон-электронных взаимодействий. ИКЭХ существуют даже в чистой системе с кулоновской силой, если управлять электронной плотностью вентилями.

4) F(рациональный)КЭХ возникает из-за образования анионов. В этом случае кулоновским взаимодействием нельзя пренебречь, но оказывается, что возникает эффективное невзаимодействующее описание с частицами, подчиняющимися парастатистике и имеющими дробный заряд

ДКЭХ возникает не из-за образования анионов. Фермионы всегда несут статистику Ферми по определению, и они никогда не являются ионами. ДКЭХ возникает из-за сильных взаимодействующих эффектов. Эффективное невзаимодействующее описание на самом деле не работает (например, оно не может описать краевые и неабелевы состояния).

5) FQHE снова имеет какое-то отношение к топологии, TQFT, теории Черна-Саймонса, группам плетения и многим другим вещам.

Состояния FQH содержат новый вид порядка: топологический порядок . Низкоэнергетические теории состояний FQH представляют собой TQFT (например, теории Черна-Саймонса). Возбуждения квазичастиц в состояниях FQH — анионы.

6) Иерархические состояния являются примерами состояний FQH.

Это было слишком долго, чтобы поместиться в комментарий, поэтому ответ должен быть. Это все в дополнение к ответу @Moshe R., который превосходен.

Во-первых, просто чтобы исправить ваши утверждения (в дополнение к высказываниям Моше): 3. Нечистоты ничего не экранируют. Сами электроны обеспечивают экранирование, чтобы сделать независимое электронное приближение полуоправданным (это обычный аргумент Ландау о ферми-жидкости). Однако примеси обеспечивают основной потенциал рассеяния для достижения некоторой локализации Андерсона, что имеет решающее значение для фактического получения плато --- иначе вообще никогда не было бы никакого сопротивления! Между прочим, понимание этого момента имеет решающее значение для понимания того, почему продольная проводимость показывает пики, которые она делает.

В более общем смысле:

В случае с конденсированной материей у нас нет точных теорий — все является упрощенным приближением. Таким образом, в литературе можно встретить множество различных теорий, которые подчеркивают разные аспекты явления и имеют разную степень сложности и количественной точности. На данный момент справедливо сказать, что ИКЭХ хорошо изучен, преобладающая теория представляет собой комбинацию топологических состояний, эффектов примесей и двухпараметрической теории масштабирования (как продольной, так и поперечной проводимости, аля Хмельницкий). Однако теория FQHE не достигла такого же консенсуса. В некотором отношении ДКЭХ подобен ВКЭХ электронов с «связанным» с ними дополнительным потоком (за счет эффективного взаимодействия за счет кулоновского отталкивания); в этой картине вся неразбериха (примеси) и т.п. опять имеют решающее значение. Это также связано с иерархическими состояниями, потому что можно представить себе связывание большего потока с анионными возбуждениями и получение ими большего количества состояний ИКЭХ. Однако ясно, что, поскольку основным компонентом является сильное кулоновское взаимодействие, без систематического (вышеупомянутое в значительной степени ad hoc) рассмотрения невозможно быть уверенным в пределах применимости теории. Работа над этим аспектом идет (но, честно говоря, несколько застопорилась --- это достаточно сложно теоретически, чтобы действительно искать какой-то фундаментальный прорыв в математике, чтобы закончить ее). без систематического (вышеупомянутое в значительной степени от случая к случаю) рассмотрения невозможно быть уверенным в пределах применимости теории. Работа над этим аспектом идет (но, честно говоря, несколько застопорилась --- это достаточно сложно теоретически, чтобы действительно искать какой-то фундаментальный прорыв в математике, чтобы закончить ее). без систематического (вышеупомянутое в значительной степени от случая к случаю) рассмотрения невозможно быть уверенным в пределах применимости теории. Работа над этим аспектом идет (но, честно говоря, несколько застопорилась --- это достаточно сложно теоретически, чтобы действительно искать какой-то фундаментальный прорыв в математике, чтобы закончить ее).

Спасибо. Не могли бы вы немного уточнить (или просто дать ссылку) о теории масштабирования и Хмельницком? Я тоже не знаком.
@Marek: мои знания исходят от моего руководителя, и я подозреваю, что это немного фольклорно по своей природе. Трудно найти работы Хмельницкого на английском языке, и в основном они существуют в ЖЭТФ. Ссылки, которые я видел (но не читал): Музыкальный и Хмельницкий, Письма в ЖЭТФ. 62, 76 (1995) и Хмельницкий, Письма в ЖЭТФ. 38, 552 (1985). Английская ссылка Pruisken, Nucl. физ. В. 235, 277 (1984). Современная работа, как правило, основывается на теории беспорядка на основе теории поля или теории реплик и выводит эффективную нелинейную модель. о -модель для диффузионного переноса, и отсюда найти скейлинговую теорию.
Быстрый комментарий: я видел изображение FQHE как IQHE любого, но оно всегда выглядит немного формальным для меня. Физика этих двух явлений мне кажется разной, например для ДКЭХ явно нужен очень чистый образец. В любом случае, мне будет любопытно узнать больше о том, какие есть открытые проблемы в FQHE.
@Moshe R .: Обратите внимание, что FQHE не является IQHE для кого-либо --- кто-то появляется только как возбуждение. Это формально --- идея состоит в том, чтобы обосновать, что такая картина имеет смысл и предсказывает правильные (скажем) возбуждения, но для ее получения не нужно никакого "вывода". В конденсированных средах это не всегда проблема — многие вещи на самом деле просто догадки, которые работают исключительно хорошо. Более высокая чистота - это просто результат того, что композитный ВКЭХ немного более хрупок; обратите внимание, что для локализации Андерсона в 2D требуется достаточно большая выборка с произвольно малыми примесями.
Ключевой проблемой современных теорий ДКЭХ является отсутствие подробной количественной теории того, как взаимодействие приводит к новому порядку — обычно просто постулируется состояние и показывается, что оно имеет разрыв, т. е. защищено от небольших возмущений. На практике такую ​​же критику можно было бы подвергнуть ИКЭХ, основанному на рассуждениях о ферми-жидкости, которые также в своей основе не совсем строги. Тем не менее, большинству людей гораздо приятнее признать, что взаимодействиями можно полностью пренебречь, чем каким-то образом включить часть взаимодействия в топологический порядок и пренебречь остальным.
@genneth: я думал, что теория ферми-жидкости была более или менее строгой (в смысле физики) с использованием теории ренормализационной группы. Есть ли фундаментальная проблема с этим подходом?
Рассматривая ДКЭХ как ВКЭХ составных фермионов (КС). Я думаю, что есть своего рода "вывод" этого. Если я правильно помню, начинают с микроскопической теории (взаимодействующие фермионы, минимально связанные с внешним магнитным полем). Затем выполните (сингулярное) калибровочное преобразование, и это «прикрепит» (Черна-Саймонса) «потоки» к каждому фермиону, и тогда это будут КФ. Первое приближение состоит в том, чтобы рассматривать проблему на уровне среднего поля и считать взаимодействия между КФ слабыми, что приводит к меньшему эффективному магнитному полю. Затем рассмотрим флуктуацию вокруг среднего поля
пертурбативно и анализировать устойчивость/обоснованность приближения среднего поля. КФ в более слабом эффективном магнитном поле приводит к ВКЭХ КФ, что дает ДКЭХ электронов с правильными плато. Я никоим образом не эксперт в этом и знаю об этом очень поверхностно. Так что может быть что-то очень неправильно с этим подходом. Если я правильно помню, Альтланд и Саймонс (теория поля конденсированного состояния) кратко рассмотрели этот подход в главе о топологии.
@4tnemele: Теория ферми-жидкости имеет полууправляемое расширение (а именно Шанкар) с точки зрения перенормировки относительно поверхности Ферми. Однако я хочу сказать, что для FQHE у нас еще меньше . Например, то, что вы описываете (т.е. присоединение потока CS), я имел в виду под «частичным» учетом кулоновского взаимодействия; это не контролируемое расширение ни в каком смысле. Я немного (гм) знаком с Altland & Simons; да, я думаю, что это там, но без особых подробностей (по крайней мере, в 1-м выпуске).

Есть книга, которая охватывает именно те вопросы, которые вы задали:

  • Натан Гольдман, Квантовый перенос в решетках, подверженных воздействию внешних калибровочных полей: квантовый эффект Холла в оптических решетках и квантовых графах, http://www.amazon.com/Quantum-transport-lattices-subjected-external/dp/3639163869 (I Я читаю это сейчас, и это просто и хорошо написано.)

Если у вас мало времени (или денег) - книга основана на его тезисе:

Квантовый эффект Холла для чайников
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v