Что такое парафермион в физике конденсированного состояния?

Это очень общий вопрос, я думаю, что мог бы дать некоторое представление, но его, безусловно, нужно будет уточнить у кого-то с этим конкретным опытом.

1. The $\mathbb{Z}_k$парафермионы возникают в нескольких моделях статистической механики. Они оба интересны и тонки, потому что их обменная статистика зависит от их позиций (в одном измерении). Нагляднее всего понимать их как возбуждения, возникающие$\mathbb{Z}_k$модель квантовых часов. в$\mathbb{Z}_k$модель часов у нас есть местные операторы на каждом сайте,$\sigma$а также$\tau$которые подчиняются$\sigma^k =\tau ^k = 1$а также$\sigma \tau = \omega \tau \sigma$с$\omega = e^{2 \pi i /k}$. Из этих операторов мы можем определить гамильтониан,

   $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n (-J\sigma_n^{\dagger} \sigma_{n+1}+h.c.) -h(\tau_n +\tau_n^\dagger) \end{equation}$$ Затем это принимает знакомую форму одномерной модели Изинга с поперечным полем (k = 2). Модель Изинга с поперечным полем допускает преобразование Джордана-Вигнера, которое приводит ее к свободным фермионам. Обобщение этого преобразования переводит модель часов в один из (несвободных) парафермионов (я остановлюсь на этом подробнее). Преобразование это: $$\begin{eqnarray} \alpha_j &=& \sigma_j \prod_{i<j} \tau_i \\ \beta_j &=& \sigma_j \tau_j \prod_{i<j} \tau_i. \end{eqnarray}$$ Имея эти преобразования, мы можем убедиться, что гамильтониан в терминах парафермионных операторов принимает вид: $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n -J\omega\alpha_{n+1}^\dagger \beta_n - h\omega \beta_n^{\dagger} \alpha_n +h.c. \end{equation}$$ С парафермионами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям$\alpha_j \alpha_{j^{\prime}} = \omega^{sgn(j^\prime - j)} \alpha_{j^{\prime}} \alpha_j$и аналогично для остальных. Следовательно, коммутационные соотношения, зависящие от узла. Введение в http://arxiv.org/abs/1209.0472 содержит более подробную информацию в очень удобочитаемой форме.

2. Как эти парафермионы соотносятся с модами майорана в физике конденсированного состояния? Понятно, что они являются прямым обобщением операторов Майораны, найденных из преобразования Жордана-Вигнера (или здесь случай k=2). Но они совсем другие звери, когда дело доходит до нулевых режимов. Это легче всего увидеть, пытаясь найти спектр теорий. За$k=2$у нас есть Майорана, мы можем вычислить спектр, находя лестничные операторы, которые удовлетворяют$[H,\gamma_k] = E_k \gamma_k$. Это относительно простое упражнение, в результате которого получаются решения для плоских волн со спектром, похожим на$E_k = \pm2\sqrt{h^2(\cos{k}-1)^2 + J^2\sin^2{k}}$( это надо проверить ). Если применить ту же методологию к парафермионам, станет совершенно ясно, что коммутация чего-то линейного в парафермионах дает билинейные в парафермионах. Это сигнализирует нам, что наша теория больше не свободна. Это то, что я считаю самым большим отличием.

3. Как они соотносятся с аньонами Изинга и аньонами Фибоначчи? Анионы Изинга тесно связаны с нулевыми модами майорана - они удовлетворяют той же неабелевой статистике с точностью до полного$U(1)$фаза. Я знаю одну связь, которую, возможно, мог бы уточнить кто-то другой. Известно, что все эти модели самодвойственны и имеют критическую точку при$h = J$и здесь мы считаем$h$а также$J$настоящий. Эти критические точки описываются парафермионными конформными теориями поля (CFT) в термодинамическом пределе. КТП, управляющая теорией k=3, имеет поле, чье операторное произведение удовлетворяет правилам слияния Фибоначчи.

4. В двух измерениях могут происходить забавные вещи, когда мы обмениваемся частицами. Вместо$\pm$знак, отличающий бозоноподобные частицы от фермионоподобных частиц в 3 или более измерениях, в двух измерениях частицы могут приобретать произвольную фазу$e^{i \theta}$. Это было бы характерно для абелева анион. Неабелев анион тоже может подобрать такую ​​фазу, но, что еще более странно, не только фаза в целом, но и все (вырожденное) основное состояние может подвергнуться унитарному преобразованию. Отличный обзор на эту тему дан здесь: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083 .