Почему в квантовом эффекте Холла существуют киральные краевые состояния?

Вот объяснение, которое является чисто квантовым.

Заряженная квантовая частица в магнитном поле подвергается квантованию Ландау . Взяв магнитное поле в$z$направлении, мы можем выбрать калибровку Ландау для векторного потенциала:

$$\mathbf{A} = B x \hat{y} ~~ \Rightarrow ~~ \mathbf{B} = B \hat{z}.$$ Гамильтониан в координатах $xy$, игнорируя (пока) края образца:

$$H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e \mathbf{A}}{c}\right)^2 = \frac{1}{2m} \left[ p_x^2 + \left(p_y- m \omega_c x\right)^2\right],$$

куда$\omega_c = eB/mc$– циклотронная частота.
После разделения переменных получаем волновые функции:

$$\psi(x,y) = f_n ( x- k_y / m \omega_c ) e^{i k_y y},$$

куда$f_n$являются собственными функциями простого гармонического осциллятора ($n=0,1,2...$). Ожидаемые значения$p_y$а также$x$для этой волновой функции$\langle p_y \rangle =k_y$а также$\langle x \rangle =k_y / m \omega_c$, а течение по$y$направление пропорционально обобщенному импульсу в этом направлении:

$$\langle I_y \rangle = \frac{-e}{m} \langle p_y - m \omega_c x\rangle = \frac{-e}{m} (k_y - m \omega_c \frac{k_y}{ m \omega_c} )=0.$$

Как и ожидалось, мы получаем нулевой ток в объеме образца.
Теперь давайте представим, что мы находимся рядом с краем образца на отрицательной стороне$x$ось. Это означает, что частица будет ощущать ограничивающий потенциал.$U(x)$это выглядит примерно так:
Этот потенциал будет деформировать волновую функцию$f_n$к волновой функции, которая имеет больший вес в положительном направлении$x$чем раньше, и тогда мы получим$\langle x \rangle > k_y / m \omega_c$, что приводит к:

$$\langle I_y \rangle > 0,$$ т.е. краевой ток в плюсе $y$направление. Обратите внимание, что это то же самое направление, которое было предсказано классически.

Короткий ответ: почему бы и нет?

Состояния HQ не имеют симметрии обращения времени. Таким образом, возбуждения, движущиеся вправо, и возбуждения, движущиеся влево, могут вести себя по-разному — таким образом, они хиральны. Краевые состояния большинства состояний FQH очень киральны в том смысле, что даже количество мод, движущихся слева и справа, различно.

Топологический изолятор и топологический сверхпроводник обладают симметрией обращения времени, а их ребра, строго говоря, не киральны, например, правые и левые двигатели имеют абсолютно одинаковую скорость. Конечно, количество режимов левого и правого движения одинаково.

На фундаментальном уровне физика квантового зала описывает некоммутативные взаимодействующие направляющие центры, которые удовлетворяют некоммутативной алгебре

$[R^a_i, R^b_j] = -i\delta_{ij}\epsilon^{ab}l_B^2$куда$l_B$магнитная длина,$i,j$маркирует частицы,$a,b$маркирует 2D-направление.

Эта фундаментальная алгебра является нечетной с обращением времени.