Классы эквивалентности отображений из T2T2T^{2} в произвольное пространство XXX

Напомним, что гомотопические группы$\pi_n(X)$заданы как гомотопические классы отображений$S^n\to X$, и что каждая карта$f : T^2\to X$индуцирует карты$f_* : \pi_n(T^2)\to\pi_n(X), [g]\mapsto [f\circ g]$.

Сейчас$\pi_1(T^2) = \mathbb{Z}^2$, но$\pi_2(T^2)=0$. Если две карты$f,h: T^2\to X$теперь гомотопны,$f_*$и$g_*$должны отправить два генератора$\pi_1(T^2)$к одним и тем же элементам в$\pi_1(X)$. Но если$\pi_2(X)\neq 0$, это не любое условие на карте на$\pi_2$, так как они всегда отправляют все на$0$. Таким образом, можно сказать, что есть «остаточный» элемент в$\pi_2(X)$, потому что карты ничего не определяют в$\pi_2(X)$, в частности, вам не дают интересную подгруппу.

Если$\pi_2(X)\neq\mathbb{Z}$, то непонятно, почему авторы говорят об "одной оставшейся карте$S^2\to X$". Я подозреваю, что "произвольное пространство" на самом деле не является произвольным.