Нахождение явных унимодулярных преобразований для K-матриц Черна-Саймонса

Необходимое и достаточное условие сопряженности : см. закон инерции Сильвестра . В ваших обозначениях две симметричные матрицы$K$и$K'$сопряжены преобразованием$W^TKW = K'$тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое количество положительных и отрицательных собственных значений (нет нулевых собственных значений, поскольку оба несингулярны). Однако сами собственные значения не обязательно должны быть идентичными.

Необходимое и достаточное условие для$W$быть унимодулярным :$K$не обязательно должен быть унимодулярным, но отношение сопряженности накладывает

$$[\det(W)]^2 = \frac{\det(K')}{\det(K)}$$ так $W$унимодулярно тогда и только тогда, когда $$\det(K) = \det(K')$$

Поиск трансформации$W$: Диагонализация$K$и$K'$как

$$K = U^T Q U,\;\;\;\;,U^TU = UU^T = I\;\;\;\;\;Q=Q^T=\text{Diag}(\lambda_K)$$ $$K' = {U'}^T{Q'}{U'}, \;\;\;\;\;{U'}^T{U'} = {U'}{U'}^T = I\;\;\;\;\;{Q'}={Q'}^T= \text{Diag}(\lambda_{K'})$$ где диагональные матрицы $Q$, $Q'$перечислить собственные значения $\lambda_K$, $\lambda_{K'}$по порядку, скажем, от меньшего к большему. Дальнейшее определение $S = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_K|})$, ${S'} = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_{K'}|})$, и переписать $$Q = S^T D S,\;\;\;\;\; Q' = {S'}^T D {S'}$$ где $$D = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_K)) = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_{K'}))$$ теперь диагональная унимодулярная матрица, $[\det(D)]^2 = 1$. Подстановка всего в отношение сопряженности приводит его к виду $$(S U W)^T D (S U W) = ({S'}{U'})^T D ({S'}{U'})$$ и позволяет идентифицировать, например, $$S U W = {S'}{U'}$$ что в итоге дает $$W = U^T S^{-1}{S'}{U'}$$ Если $\det(K) = \det(K')$тогда также $\det(S) = \det(S')$и так $\det(W) = \pm 1$, в зависимости от $\det(U)$, $\det(U')$.

Однако обратите внимание, что$W$не уникален. Любой${\bar W} = U^T S^{-1}V{S'}{U'}$с$V$такой, что$V^TDV = D$(например$[V, D] = [V^T, D] = 0$и$V^TV = I$) работает так же хорошо.