Квантовый спин и нарушения специальной теории относительности

Специальная теория относительности объясняет спин, но только при включении квантовой механики. Уравнение Шредингера для свободной частицы гласит:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$$

что является квантовой интерпретацией нерелятивистского выражения:

$$\frac{p^2}{2m} = E$$

Дирак сделал это релятивистским. Поскольку он должен рассматривать пространство и время эквивалентно, а производная по времени должна быть линейной, чтобы сделать$|\psi|^2$плотность вероятности, он попытался:

$$(\alpha cp + \beta mc^2)\psi = E\psi$$

После долгих хлопот выясняется, что$\alpha$и$\beta$должны быть четырехкомпонентными объектами, которые теперь называются матрицами Дирака$\gamma_{\mu}$, и:

$$i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc\psi=0$$

Четыре компонента$\psi$затем идентифицируются как 2 спиновых состояния (каждого) электрона и позитрона.

Так что в каком-то смысле на нас действуют силы относительности. Глубокая математическая обработка касается представлений группы Лоренца.$O(3,1)$, который содержит копии$SU(2)$, спин-группа Паули. Ассоциированные алгебры известны как «алгебра пространства-времени» и «алгебра пространства».

Этот нерелятивистский спин возникает как фундаментальное представление$SU(2)$означает, что это чисто квантовая механика. Классического аналога нет. Более того, эксперимент Штерна-Герлаха показывает, что спин представляет собой систему с двумя состояниями, которую можно квантовать вдоль произвольной оси.

Гаудсмит-Уленбек пытался объяснить экспериментально наблюдаемые «спиновые эффекты» «внутренним» вращением частицы. Но это нарушило бы специальную теорию относительности, поскольку поверхность электрона двигалась бы быстрее скорости света (Эренфест).

Тем не менее нам не нужно переделывать теорию относительности, потому что сегодня спин рассматривается как свойство частицы, не соответствующее реальному вращению в физическом пространстве.

Классическая электродинамика предсказывает, что для тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии, магнитный момент равен

$$\vec{\mu}=\frac{Q}{2M}\vec{S},$$ где$Q$полный заряд тела,$M$- масса тела, а$\vec{S}$- угловой момент вращения. Экспериментально установлено, что это неверно для электрона; правильное выражение $$\vec{\mu}=g\frac{Q}{2M}\vec{S},$$ где$g=2$.

Уравнение Дирака , релятивистская форма уравнения Шредингера для частиц со спином 1/2 (его достаточно доступный вывод можно найти здесь ), при решении для электрона в электромагнитном поле (как показано здесь ) правильно предсказывает$g=2$. Таким образом, нет необходимости переделывать специальную теорию относительности; попытка изменить уравнения квантовой механики, чтобы приспособиться к релятивистскому гамильтониану, дает адекватные предсказания.