Возникновение спина из специальной теории относительности

Исторически (уравнение Дирака, упомянутое в ответе @Kasi) и феноменологически (например, скалярная электродинамика или КЭД? ) Можно увидеть связь между спином и специальной теорией относительности, где последняя интерпретируется как «вещество, движущееся быстро».

Но с математической/логической точки зрения я не согласен.

Во-первых, если вы просто помечаете свою частицу стрелкой в ​​пространстве, я не понимаю, зачем вам нужно$SO(1,3)$вместо простого$SO(3)$.
Интересно отметить, что группа Пуанкаре задается формулой$\mathcal{P} = SO(1,3) \ltimes \mathbb{R}^{1,3}$в то время как группа Галилея дается$\mathcal{G} = (SO(3)\ltimes \mathbb{R}^3) \times (\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^3)$. В обоих случаях вы можете найти двойные крышки, такие как$SO(1,3) \xleftarrow{2:1} SL(2,\mathbb{C})$и$SO(3) \xleftarrow{2:1} SU(2)$. Аргумент двойного покрытия играет ключевую роль в определении того, что могут быть только два различных способа перестановки идентичных частиц в 3D, то есть фермионы и бозоны. Таким образом, к этому заключению можно прийти и в рамках преобразований Галилея. Если и когда вы присвоите спины фермионам и бозонам, вы поймете, что вам нужно$SL(2,\mathbb{C})$для представления частиц со спином 1/2.

Помимо этого отступления, я думаю, что все сводится к причинно-следственной связи .

Чтобы ваша теория была причинной , действие операторов на состояния не может быть быстрее скорости света. Это особенно важно для пространственно-подобных разделенных событий. В этих ситуациях вы обращаетесь к группе симметрий пространства-времени. Для неизогнутых (плоских) геометрий это группа Пуанкаре (которая включает также преобразования Лоренца), и мы находимся в области специальной теории относительности. Представления группы Пуанкаре, то есть то, с чем вам нужно заниматься математикой, уникально помечены массой и спином.

Итак, в заключение, я думаю, что спин возникает из специальной теории относительности не «потому что он движется быстро», а потому, что последняя является основой, управляющей преобразованиями между различными событиями (в пространстве и времени), которая необходима для обеспечения причинно-следственной связи. Причинность, требующая соблюдения, является причиной , по которой квантовая механика (и ее попытки релятивистской коррекции) в какой-то момент должна быть отброшена в пользу квантовой теории поля.

Связана ли причина, по которой лоренц-инвариантность вводит спин, с необходимостью маркировать и отслеживать головной и хвостовой концы релятивистской частицы, и что вам не нужно отслеживать это для медленно движущихся частиц?

Я думаю, что это немного вводящее в заблуждение утверждение. В нерелятивистской квантовой механике волновая функция электрона в базисе положения будет вообще функцией$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. Итак, здесь в каждой точке пространства волновая функция является скалярной. Даже в нерелятивистской квантовой механике, если мы предположим, что волновая функция не скалярная, а векторная, тогда эта частица будет иметь спин (в данном случае спин равен 1). В рамках нерелятивистской квантовой механики, используя коммутационные свойства углового момента, мы можем показать, что собственные значения спина всегда являются целыми кратными$\frac{1}{2}$. Для орбитального углового момента${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$мы можем показать, что собственные значения всегда являются целыми числами. Но${\displaystyle \mathbf {L} }$является только генератором вращений, который будет назначать$\vec{\psi}(x,y,z)$к$\vec{\psi}(x',y',z')$но он не будет вращаться$\vec{\psi}(x,y,z)$сам.

Прочтите со страницы 324 «Принципы квантовой механики» Рамамурти Шанкара, чтобы понять спин в нерелятивистской квантовой механике. Так что даже нерелятивистская квантовая механика многое говорит о спине.

Релятивистская квантовая механика делает еще один шаг вперед, и в ней, если мы предполагаем, что уравнение линейно во времени, то волновая функция не может быть скалярной, она должна быть спинорной (интуитивно это как квадратные корни из векторов). Лоренц-инвариантность не означает, что спин должен существовать. Например, уравнение Клейна – Гордона имеет нулевой спин (то есть волновая функция является скалярной). Как и в нерелятивистской квантовой механике, в релятивистской квантовой механике собственные значения углового момента всегда кратны$\frac{1}{2}$. Первоначально уравнение Клейна–Гордона предполагалось как релятивистское уравнение для электронов (и уравнения Клейна–Гордона, и Дирака сводятся к уравнению Шредингера в нерелятивистском пределе). Но после обнаружения спина электрона от него отказались в пользу уравнения Дирака . Уравнение Дирака должно иметь вид

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$$ для того, чтобы удовлетворить${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$и быть линейным во времени. Можно показать, что$\alpha_i$и$\beta$должны быть по крайней мере 4-мерными матрицами. Если мы возьмем их как 4-мерные матрицы, это означает, что$\psi$представляет собой 4-компонентную матрицу столбцов. Уравнение Клейна – Гордона удовлетворяет${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$но не является линейным в пространственно-временных координатах.

Уравнение Паули является нерелятивистским пределом уравнения Дирака и объясняет спин. Если электромагнитных полей нет, то оно сводится к уравнению Шрёдингера.

$${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$$

Вам не нужна специальная теория относительности, чтобы объяснить спин. Спиновые эффекты наблюдаются в нерелятивистском пределе. Это следствие линеаризации квантовых уравнений.

Дирак взял релятивистский энергетический спектр$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$и написал волновое уравнение, линейное по пространству и производным по времени$p\to-i\hbar\nabla$и$E\to i\hbar\partial_t$. Он обнаружил, что это можно решить только с помощью 4-компонентных волновых функций (два биспинора, второй представляет античастицы).

Вы можете сделать то же самое, что Дирак сделал с нерелятивистским спектром, и линеаризовать$E=p^2/2m$и найти уравнения Леви-Леблона, которые эквивалентны уравнению Паули (уравнению Шредингера для спина 1/2), которое требует двузначной спинорной волновой функции. Это происходит потому, что спин выступает как один из казимиров алгебры Галилея, которая не является релятивистской. Спин, безусловно, является квантовым эффектом, но не обязательно релятивистским.