Что такое голономные и неголономные связи?

Если у вас есть механическая система с$N$частиц, вам технически нужно$n = 3N$координаты, чтобы описать его полностью.

Но часто можно выразить одну координату через другие: например, две точки соединены жестким стержнем, их относительное расстояние не меняется. Такое состояние системы может быть выражено уравнением, в котором участвуют только пространственные координаты$q_i$системы и времени$t$, а не по импульсам$p_i$или более высокие производные по времени. Они называются голономными ограничениями :

Пример голономного ограничения можно увидеть в математическом маятнике. Точка качания маятника имеет две степени свободы ($x$и$y$). Длина$l$маятника является постоянным, так что мы можем записать ограничение как

Неголономные связи — это в основном все остальные случаи: когда связи нельзя записать в виде уравнения между координатами (но часто в виде неравенства).

Примером системы с неголономными связями является частица, запертая в сферической оболочке. В трех пространственных измерениях частица имеет 3 степени свободы. Ограничение говорит о том, что расстояние частицы от центра сферы всегда меньше, чем$R$:

На вопрос уже несколько раз давался хороший ответ. Я просто добавлю немного геометрического контекста.

В геометрии группа голономии соединения — это набор преобразований, которые может претерпевать объект при параллельной транспортировке в цикле. Многие ограничения можно сформулировать в терминах принуждения чего-либо к параллельной транспортировке. Если связанные группы голономии нетривиальны, то ограничение не может быть голономным, потому что ориентация объекта будет зависеть от пройденного цикла, а не только от текущего состояния. Итак, довольно запутанно, вы получаете голономные ограничения из тривиальных групп голономии.

Вот некоторые примеры:

• Предположим, что монета катится без проскальзывания в 2D. Это голономное ограничение, потому что если вы будете катить монету вперед и назад туда, где вы начали, она окажется в той же ориентации. Формально это описывается параллельным переносом в$U(1)$связывать$\mathbb{R}$, где$U(1)$описывает ориентацию монеты.
• Предположим, что мяч катится без проскальзывания в 3D. Это не голономное ограничение, потому что если вы покачиваете мяч, вы можете заставить его вернуться туда, где он начал, перевернулся. (Попробуйте!) Формально это описывается нетривиальной голономией в$SO(3)$связывать$\mathbb{R}^2$, где$SO(3)$описывает ориентацию шара.
• Предположим, что кошка парит в космосе с нулевым полным угловым моментом. Это не голономное ограничение, потому что кошка может немного пошевелиться, а затем вернуться в свою первоначальную форму, но повернувшись . Формально это описывается нетривиальной голономией в$SO(3)$связывать$S$, куда$S$это пространство форм кота.

Голономное ограничение — это ограничение, которое устанавливает определенную связь между используемыми вами координатами. Например, рассмотрим цилиндр радиусом$R$катится по столу в 1-D. Система может быть описана координатой$x$, обозначающий положение цилиндра, и координата$\theta$, описывающий угол поворота цилиндра. Если же цилиндр катится без проскальзывания, то на каждом бесконечно малом расстоянии$dx$цилиндр движется, он должен переместиться на расстояние$d\theta$данный

Неголономная связь — это система, для которой это интегрирование невозможно. Классический пример этого — сфера, катящаяся без скольжения по столу в 2D. В этом случае состояние системы описывается положением сферы вдоль стола (нужны две координаты,$x$и$y$) и угловая ориентация сферы в 3D (требуются три координаты, такие как углы Эйлера$\theta$,$\phi$,$\psi$.)

Теперь предположим, что я перемещаю сферу по столу на бесконечно малое перемещение$dx$и$dy$. значения$dx$и$dy$, в сочетании со значениями$\theta$,$\phi$,$\psi$перед смещением, будет определять бесконечно малые изменения$d\theta$,$d\phi$,$d\psi$. Другими словами, должны быть какие-то отношения вида

Можно надеяться, что мы сможем интегрировать эти отношения между дифференциалами, чтобы получить ограничения между самими координатами, выраженными в виде набора функций$f_j(q_i) = 0$. Но вот загвоздка: мы не можем. Если бы существовал такой набор функций, то было бы так, что положение шара$x,y$на столе полностью определяло бы его угловую ориентацию, как это было в случае с цилиндром. Однако вы можете попробовать это сами: возьмите мяч и отметьте начальную точку на столе и точку на мяче. Положите мяч в исходную точку так, чтобы отмеченное место на мяче было сверху, и катайте мяч по столу, не скользя. Вы быстро обнаружите, что положение мяча на столе не определяет его ориентацию: когда вы возвращаете мяч в исходную точку, отмеченная точка обычно не оказывается сверху. На самом деле, вы можете поставить практически любую точку на вершину мяча, когда мяч вернется в исходную точку.

Это означает, что не существует функций$f_i(q_j)$координат, которые могут быть получены путем «интегрирования» приведенных выше дифференциальных ограничений. Вместо ограничения между самими координатами мы «застреваем» на ограничении между бесконечно малыми изменениями координат.

Для полноты: существует также понятие полуголономных ограничений.

1. Напомним, что голономная связь$^1$

   $$f(q,t)~=~0\tag{H}$$ зависит только от обобщенных координат$^2$ $q^j$и время$t$, а не обобщенные скорости$\dot{q}^j$.

2. Неудивительно , что неголономная связь — это связь, которая не является голономной.

3. Полуголономное ограничение / ограничение Пфаффа

   $$a(q,\dot{q},t)~\equiv~ \sum_{j=1}^na_j(q,t)~\dot{q}^j+a_0(q,t)~=~0\tag{S1}$$ — неголономная связь, аффинно зависящая от обобщенных скоростей$\dot{q}^j$. уравнение (S1) эквивалентно может быть записано через одну форму $$\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0.\tag{S2}$$

4. Ограничение (S2) эквивалентно голономному ограничению (H) тогда и только тогда, когда существует интегрирующий множитель$\lambda(q,t)\neq 0$и одна форма$\eta$такой, что$^3$

   $$\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f . \tag{I}$$

--

$^1$Неявно предполагаются различные технические условия регулярности, ср. например , этот пост Phys.SE.

$^2$В этом ответе мы также называем исходные переменные положения точечной частицы${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$чтобы обобщенные координаты были как можно более общими.

$^3$ Теорема Фробениуса обеспечивает необходимые и достаточные условия

Предположим, вы записали либо лагранжиан системы в терминах$q_i,\,\dot{q}_i$, или его гамильтониан через$q_i,\,p_i$. Есть некоторые тонкости анализа, если функция$f$существует, для которого$f(q_i,\,\dot{q}_j,\,t)=0$, или$f(q_i,\,p_j,\,t)$. В любом случае, вы ограничили эту систему. Мы называем это голономным, если$f$является функцией$q_i,\,t$один.

Давайте посмотрим на некоторые примеры. Американские горки повторяют форму своей дорожки, поэтому ограничение является голономным. С другой стороны, электромагнетизм$p_{A_0}=0$, что является неголономной связью. (На самом деле, это даже не зависит от$q_i$.)

Предположим, что частица движется по поверхности сферы, вы можете написать уравнение расстояния между центром сферы и частицей (радиус сферы) как$x^2+y^2+z^2 = R^2$, здесь$x,y,z$- декартовы координаты и$R$радиус сферы. Это пример голономного ограничения. Теперь предположим, что частица не обязана двигаться по поверхности сферы, в этом случае вы не можете написать уравнение, как указано выше. Это неголомомное ограничение. См. книгу «Введение в классическую механику» Пураника и Таквале.