Каков тип функции обобщенного импульса?

Question

Каков тип функции обобщенного импульса?

Николай-К

Позволять

л : р^{н} \times р^{н} \times р \to р

$L:{\mathbb R}^n\times {\mathbb R}^n\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}$

обозначают лагранжиан (он должен быть дифференцируемым) классической системы с $n$ пространственные координаты. В действии

С [д] "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} л (д (т), д^{'} (т), т) г т,

$S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q(t),q'(t),t)\, \mathrm{d}t,$

первый $n$ слоты оцениваются по пути $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , второй $n$ в $q'$ и последний для возможных явных временных зависимостей.

Определяются ли обобщенные импульсы как функции обобщенных координат, т.е.

п_{Дж} "=" \frac{\partial л ({Икс}^{1}, \dots, {Икс}^{н}, в^{1}, \dots, в^{н}, т)}{\partial в^{Дж}},

$p_j=\frac{\partial L(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j},$

или как связанный с кривой $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , т.е.

п_{Дж} "=" {\frac{\partial л (д^{1}, \dots, д^{н}, в^{1}, \dots, в^{н}, т)}{\partial в^{Дж}} |}_{д "=" д (т), в "=" д^{'} (т)},

$p_j=\left.\frac{\partial L(q^1,\dots,q^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j}\right\rvert_{\large{q=q(t),\ v=q'(t)}},$ ?

В последнем случае это функция только времени, и $q$ похоронен где-то внутри него.

Вопрос, который созависим с этим, может быть: каков тип полной производной и члена $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}$ в дифференциальном уравнении в $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , что обычно выражается как

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" 0.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0.$

юггиб

Для классических систем конечных размеров

q, \dot{q}, p

$q,\dot{q},p$ считаются картами из

R

$\mathbb{R}$ к

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ . Тем не менее часто бывает удобно отслеживать явную зависимость, например, в

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot{q}$ из

p

$p$ .

Николай-К

@yuggib: мне кажется, что уравнения сформулированы как

\dot{q} = {q, H}

${\dot q}=\{q,H\}$ и

\dot{p} = {p, H}

${\dot p}=\{p,H\}$ совершенно странные, независимо от того, какую из двух точек зрения вы принимаете.

юггиб

На мой взгляд, они не странные, а просто более геометрические: скобки Пуассона подчеркивают симплектическую структуру систем в классической механике.

Николай-К

@yuggib: Я имел в виду, что скобка Пуассона определяется как производные по q и p, и с правой стороны мы берем такие производные от q и p. С другой стороны, слева нам нужно говорить о траекториях. Поэтому они и нечетные, без указания, где что подставляем.

Ответы (1)

Каков тип функции обобщенного импульса?

Для классических систем конечных размеров $q,\dot{q},p$ считаются картами из $\mathbb{R}$ к $\mathbb{R}^n$ . Тем не менее часто бывает удобно отслеживать явную зависимость, например, в $q$ и $\dot{q}$ из $p$ .
@yuggib: мне кажется, что уравнения сформулированы как ${\dot q}=\{q,H\}$ и ${\dot p}=\{p,H\}$ совершенно странные, независимо от того, какую из двух точек зрения вы принимаете.
На мой взгляд, они не странные, а просто более геометрические: скобки Пуассона подчеркивают симплектическую структуру систем в классической механике.
@yuggib: Я имел в виду, что скобка Пуассона определяется как производные по q и p, и с правой стороны мы берем такие производные от q и p. С другой стороны, слева нам нужно говорить о траекториях. Поэтому они и нечетные, без указания, где что подставляем.

Qмеханик · Answer 1

I) Многие вопросы ОП о том, как работает лагранжев формализм, уже рассмотрены, например, в этом сообщении Phys.SE и ссылках в нем. Например, в моем ответе обсуждается вопрос о полной производной по времени в уравнениях ЭЛ .

II) В этом ответе мы хотели бы математически объяснить различные определения в лагранжевом формализме (классической механики). Давайте для простоты предположим, что нет ни явной зависимости от времени, ни более высоких производных по времени, т.е. оставим эти обобщения в качестве упражнения.

Пусть многообразие $M$ быть пространством конфигурации/позиции. Пусть задана функция Лагранжа

\begin{matrix} (1) & Е "=" Т М ∋ г "=" (д, в) \overset{л}{\mapsto} л (д, в) е р . \end{matrix}

$\tag{1} E~:=~TM~\ni~z:=~(q,v)~ \stackrel{L}{\mapsto}~L(q,v)~\in~ \mathbb{R}.$

Дифференциал

\begin{matrix} (2) & Т Е \overset{л_{*} \equiv \frac{\partial л}{\partial г}}{⟶} Т р . \end{matrix}

$\tag{2} TE~\stackrel{L_{\ast}\equiv\frac{\partial L}{\partial z}}{\longrightarrow} ~T\mathbb{R}.$

Соответствующая лагранжева импульсная функция

\begin{matrix} (3) & Е ∋ (д, в) \overset{(π_{М}, п)}{\mapsto} (д, п (д, в)) е Т^{*} М \end{matrix}

$\tag{3} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, p)}{\mapsto}~(q,p(q,v))~\in~T^{\ast}M$

задается в координатах как $^1$

\begin{matrix} (4) & п "=" \frac{\partial л}{\partial в} . \end{matrix}

$\tag{4} p~=~\frac{\partial L}{\partial v}.$

Точно так же у нас есть

\begin{matrix} (5) & Е ∋ (д, в) \overset{(π_{М}, \frac{\partial л}{\partial д})}{\mapsto} (д, \frac{\partial л (д, в)}{\partial д}) е Т^{*} М . \end{matrix}

$\tag{5} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, \frac{\partial L}{\partial q})}{\mapsto}~(q,\frac{\partial L(q,v)}{\partial q})~\in~T^{\ast}M.$

В уравнениях (3) и (5) мы использовали подходящие канонические отождествления между кокасательными расслоениями $T^{\ast}E$ и $T^{\ast}M$ .

III) Пусть

\begin{matrix} (6) & я "=" [т_{я}, т_{ф}] \overset{γ}{⟶} М \end{matrix}

$\tag{6} I~:=~[t_i,t_f] ~\stackrel{\gamma}{\longrightarrow}~M$

быть позиционным путем/кривой. Позволять

\begin{matrix} (7) & я ∋ т \overset{\tilde{γ}}{\mapsto} (γ (т), \dot{γ} (т)) е Е \end{matrix}

$\tag{7} I ~\ni~t~ \stackrel{\tilde{\gamma}}{\mapsto}~(\gamma(t),\dot{\gamma}(t))~\in~ E$

— соответствующий подъем на касательное расслоение.

IV) Соответствующий откат

\begin{matrix} (8) & я ∋ т \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} л) (т) "=" л \circ \tilde{γ} (т) е р \end{matrix}

$\tag{8} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} L)(t)~:=~L\circ\tilde{\gamma}(t)~\in~ \mathbb{R}$

и

\begin{matrix} (9) & я ∋ т \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} п) (т) "=" п \circ \tilde{γ} (т) \end{matrix}

$\tag{9} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} p)(t)~:=~p\circ \tilde{\gamma}(t)$

часто в литературе по физике также называются лагранжианом и импульсом (пути / вдоль пути) соответственно.

V) Функционал действия

\begin{matrix} (10) & С^{1} (я) ∋ γ \overset{С}{\mapsto} \int_{я} г т {\tilde{γ}}^{*} л е р . \end{matrix}

$\tag{10} C^1(I)~\ni~\gamma~\stackrel{S}{\mapsto} \int_I \!dt ~\tilde{\gamma}^{\ast} L ~\in ~\mathbb{R}.$

VI) Уравнения Эйлера-Лагранжа читаются

\begin{matrix} (11) & \frac{г}{г т} п \circ \tilde{γ} (т) "=" \frac{\partial л}{\partial д} \circ \tilde{γ} (т) . \end{matrix}

$\tag{11} \frac{d}{dt} p\circ\tilde{\gamma} (t)~=~\frac{\partial L}{\partial q}\circ\tilde{\gamma} (t).$

--

$^1$ В этом ответе мы обсуждаем только лагранжев формализм. Имеется соответствующий гамильтонов формализм, который мы для простоты не рассматриваем. В частности, лагранжеву импульсную функцию (4) не следует путать с гамильтоновым импульсом, который является независимой переменной.

Спасибо за ответ - есть ли разумное название для обратной функции импульса?

Каков тип функции обобщенного импульса?

Николай-К

юггиб

Николай-К

юггиб

Николай-К

Ответы (1)

Qмеханик

Николай-К

Почему ddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qjddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qj\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {r_i}}{ \partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}} в лагранжевой механике? [дубликат]

Почему уравнение Эйлера-Лагранжа не тривиально?

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Криволинейные координаты и базисные векторы

Голономные ограничения и степени свободы

Почему точечное преобразование в конфигурационном пространстве подразумевает, что P=∂q∂QpP=∂q∂QpP = \frac{\partial q}{\partial Q} p в фазовом пространстве?

Теорема Нётер и сохранение импульса

Что такое голономные и неголономные связи?