Лагранжиан электромагнитного поля: почему в лагранжиане перед членом BBB-поля стоит знак минус?

я знаю это л "=" Т − U и что в нерелятивистском случае

(1) л "=" 1 2 м в 2 − д ф ( р , т ) + д в → ⋅ А → ( р , т ) .

Мой лектор использовал следующую форму лагранжевой плотности для вывода уравнений Максвелла:

(2) л "=" Дж → ( р , т ) А → ( р , т ) − р → ( р , т ) ф → ( р , т ) + ϵ 2 Е → 2 ( р , т ) − 1 2 мю Б → 2 ( р , т ) .

Сравнивая два уравнения для л , я вижу, что член KE в первом уравнении заменяется плотностью энергии электромагнитного поля. Чего я не понимаю, так это почему Б -полевой член имеет перед собой знак минус в лагранжиане (2)?

Может кто-нибудь, пожалуйста, пролить свет на это для меня, пожалуйста?

PS - я проверил соответствующие сообщения, и ни один из них не затрагивает мою проблему.

Если бы у него был знак плюс, минимизация действия означала бы, что и E, и B равны нулю.
Если л если бы там был знак плюс, то одно из уравнений Максвелла оказалось бы с неправильным знаком в точке мю : − 1 мю ∇ → × Б → "=" Дж → + ϵ ∂ ∂ т Е →
@Javier Это утверждение игнорирует тот факт, что вариация требует граничных условий в качестве дополнительных входных данных (та же логика, казалось бы, указывает на то, что классические решения электромагнетизма имеют бесконечное магнитное поле и исчезающее электрическое поле). На самом деле, если знак «минус» исчез, остается действие евклидова электромагнетизма, который является совершенно четко определенной теорией поля.

Ответы (3)

В манометре ф "=" 0 , Е термин 1 2 А ˙ 2 , то есть кинетическая энергия, и Б термин ( ∇ × А ) 2 , которая представляет собой потенциальную энергию и поэтому получает знак минус.

почему они выбрали эту форму лагранжиана? неужели нет более глубокого смысла? большая часть литературы, с которой я сталкивался, просто утверждает это, не давая объяснений, литература, которая выводит форму лагранжиана для частицы в электромагнитном поле, выводит первое уравнение, которое я перечислил выше. Мой вопрос так и остался без ответа......
Если вы хотите, чтобы ваш лагранжиан был лоренц-инвариантным, я думаю, что единственный вариант л "=" − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν , где Ф мю ν "=" ∂ мю А ν − ∂ ν А мю , и А мю "=" ( ф , А → ) . Если вы расширите это, вы получите лагранжиан выше. Для нерелятивистского аргумента просто проверьте, правильно ли он дает вам уравнения Максвелла как уравнения движения. Любой другой лагранжиан не будет.

Единственная причина, по которой лагранжианы такие, какие они есть, заключается в том, что они дают правильные уравнения движения.

Кроме того, вы можете потребовать, чтобы определенные симметрии сохранялись, но это не более того. На самом деле можно доказать, что для многих систем существует бесконечно много (разных) эквивалентных лагранжианов, приводящих к одним и тем же уравнениям движения (так что вы можете выбрать любое из них).

Во-первых, чтобы уточнить, первый лагранжиан, который вы дали, - это лагранжиан, описывающий нерелятивистскую точечную частицу, движущуюся в фиксированном фоновом потенциале. ( ф , А ) . Второй лагранжиан описывает динамику электромагнитного поля при наличии фиксированного фонового источника. ( р , Дж ) .

Итак, краткий ответ на вопрос, почему стоит знак минус, заключается в том, что без него полученные уравнения не являются уравнениями Максвелла.

Немного более длинный ответ состоит в том, что знак минус существует для обеспечения релятивистской инвариантности. При преобразовании Лоренца электромагнитные поля преобразуются как

Е ⊥ → γ ( Е ⊥ + в × Б ) , Б ⊥ → γ ( Б ⊥ − 1 с 2 в × Е ) ,

где ⊥ обозначает компонент поля, перпендикулярный скорости наддува в . При этом преобразовании имеем

ϵ 0 2 Е 2 − 1 2 мю 0 Б 2 "=" ( ϵ 0 2 Е ∥ 2 − 1 2 мю 0 Б ∥ 2 ) + γ 2 ϵ 0 2 ( Е ⊥ + в × Б ) 2 − γ 2 мю 0 ( Б ⊥ − 1 с 2 в × Е ) 2 .

Соблюдая осторожность с тождествами перекрестных произведений, мы можем показать

( Е ⊥ + в × Б ) 2 "=" Е ⊥ 2 + в 2 Б 2 − ( в ⋅ Б ) 2 + 2 Е ⋅ ( в × Б )
( Б ⊥ − 1 с 2 в × Е ) "=" Б ⊥ 2 + 1 с 4 в 2 Е 2 − 1 с 4 ( в ⋅ Е ) 2 − 2 с 2 Б ⋅ ( в × Е ) .

Подключив это непосредственно к преобразованию лагранжиана, мы увидим, что γ множители сокращаются, и лагранжиан релятивистски инвариантен.

Чтобы по-настоящему оценить самый длинный ответ, требуется язык дифференциальных форм. Если А является электромагнитной 1-формой, и Ф "=" г А — соответствующая ему напряженность поля, каноническое действие для этого U ( 1 ) Калибровочная теория дается формулой

С "=" − 1 2 ∫ М Ф ∧ ⋆ Ф .

Теперь, чтобы выразить это через электрическое и магнитное поля, заметим, что если у нас есть ортонормированный базис { г Икс мю } из Ом 1 ( М ) (пространство одноформ на М ), мы можем определить электрическое поле одной формы

Е "=" Е 1 г Икс 1 + Е 2 г Икс 2 + Е 3 г Икс 3 .

Далее мы можем определить 2-форму магнитного поля

Б "=" Б 1 г Икс 2 ∧ г Икс 3 + Б 2 г Икс 3 ∧ г Икс 1 + Б 3 г Икс 1 ∧ г Икс 2 .

По этим переменным напряженность поля разлагается как

Ф "=" Б + Е ∧ г Икс 0 .

Теперь при оценке Ф ∧ ⋆ Ф , звезда Ходжа Е ∧ г Икс 0 будет иметь дополнительный знак минус относительно Б член, идущий от знака минус в метрическом тензоре г "=" диаг ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Это математическое происхождение знака минус.

Таким образом, есть три ответа на этот вопрос с тремя различными уровнями интуитивного удовлетворения:

  • Знак минус нужен для того, чтобы гарантировать, что полученные уравнения движения являются уравнениями Максвелла (не то чтобы удовлетворительными).
  • Знак минус нужен для обеспечения релятивистской инвариантности действия (несколько удовлетворительной).
  • Знак минус происходит от знака минус в метрическом тензоре пространства Минковского (очень удовлетворительно).
Лагранжиан электромагнитного поля: почему в лагранжиане перед членом BBB-поля стоит знак минус?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v