Лагранжиан в гамильтониан в квантовой теории поля

  1. При выводе гамильтониана из плотности лагранжиана мы используем формулу

    ЧАС   знак равно   π ф ˙ − л .
    Но поскольку мы рассматриваем пространство и время как параметры, то почему формула
    ЧАС   знак равно   π мю ∂ мю ф − л
    не используется?

  2. Есть ли какие-то конкретные книги/лекции, посвященные такого рода проблемам в теоретической физике, я хотел бы их знать?

Ответы (4)

Ответ Владимира имеет правильную суть, но он также вводит в заблуждение, поэтому позвольте мне уточнить.

Формула

ЧАС знак равно ∑ я п я д ˙ я − л
связь гамильтониана и лагранжиана носит совершенно общий характер. Это справедливо для всех теорий, допускающих как лагранжианы, так и гамильтонианы, независимо от того, релятивистские они или нет, независимо от того, обладают ли они какой-либо другой симметрией, кроме симметрии Лоренца.

Когда у вас есть теория поля, и гамильтониан, и лагранжиан могут быть записаны как пространственные интегралы их плотностей.

ЧАС знак равно ∫ д 3 Икс ЧАС , л знак равно ∫ д 3 Икс л
Объединяя это с первой формулой, мы получаем отношение
ЧАС знак равно ∑ я π я ф я ˙ − л
Теперь вы предложили другую формулу, и я предполагаю, что причина, по которой вы ее предложили, заключается в том, что она кажется вам более лоренц-инвариантной, что подходит для лоренц-инвариантных теорий поля. Это хорошая мотивация.

Однако в ваших рассуждениях неверно предположение, что и плотность гамильтониана, и плотность лагранжиана являются лоренц-инвариантными. Хотя лагранжева плотность является хорошим скаляром, поэтому она лоренц-инвариантна (по крайней мере, плотность в начале координат), и это потому, что ее интеграл является лоренц-инвариантным действием, которое должно быть стационарным, то же самое неверно для гамильтониан и его плотность.

Гамильтониан неразрывно связан с направлением времени: он является генератором переносов во времени (пространственными аналогами гамильтониана являются пространственные компоненты импульса); это энергия, 0-й компонент 4-вектора, ЧАС ≡ п 0 . Так что аргумент о том, что эта формула должна быть лоренц-ковариантной, неверен, предложенная вами формула неверна, а правильная формула была обоснована в начале моего комментария.

Спасибо за развернутый ответ. Можно подробнее об уравнениях движения? Когда мы переходим к лагранжевой плотности, уравнения движения по-прежнему остаются уравнениями Эйлера-Лагранжа — просто теперь они относятся к лагранжевой плотности, а не к лагранжиану. Что произойдет с уравнениями движения Гамильтона, когда мы перейдем к гамильтоновой плотности?
Как я уже писал, если есть плотность гамильтониана, полный гамильтониан является интегралом его плотности по пространству. Бесконечно много координат и бесконечно много импульсов, по одному или несколько из них в каждой точке пространства. Другими словами, это поля, поэтому они и называются ф я ( Икс , у , г ) , π я ( Икс , у , г ) вместо того, чтобы просто д я , п я . Гамильтоновы уравнения движения остаются прежними и в целом используют те же самые ЧАС . Ветчина. плотности в той же точке недостаточно для этих уравнений. Дополнительные данные и примеры см. на en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory .
«пространственными аналогами гамильтониана являются пространственные компоненты импульса». Означает ли это, что:
∂ Икс ф ∂ л ∂ ∂ Икс ф − л
x-компонента импульса?
Привет, в основном да, но здесь вы должны понимать, что имеете дело с теорией поля (и лагранжевой плотностью), поэтому энергия и импульс локально описываются тензором, тензором энергии напряжения, см. en.wikipedia.org/wiki/… Это называется Т мю ν и имеет два индекса, один из которых указывает, какой компонент вектора вы рассматриваете, а другой говорит вам, является ли это плотностью (0) или компонентом тока/потока (x, y, z) этой сохраняемой вещи. Но если знаки верны, то, что вы написали, действительно Т Икс Икс , компонента тензора энергии напряжения.

Любош Мотл и Владимир Калитвянский уже дали правильные общепринятые ответы относительно преобразования Лежандра от лагранжевого формализма к гамильтонову.

Тем не менее, кажется уместным упомянуть, что второе уравнение OP (v2)

ЧАС   знак равно   π мю ∂ мю ф − л

является отправной точкой для теории Де Дондера-Вейля , которая вводит полиимпульсы.

О явно ковариантном гамильтоновом формализме см. также, например, Ref. 1 и этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

  1. К. Црнкович и Э. Виттен, Ковариантное описание канонического формализма в геометрических теориях. Опубликовано в журнале «Триста лет гравитации» (ред. С. В. Хокинг и В. Исраэль), (1987) 676.
Если мы останемся в рамках стандартной теории, любой оператор Гейзенберга Ф подчиняется следующим уравнениям, включающим не только ЧАС знак равно п 0 , но и другие компоненты четырехвектора энергии-импульса п мю : ∂ Ф ∂ Икс мю знак равно я [ Ф , п мю ] .

Время играет особую роль даже в теории относительности. Координаты времени и пространства («длины») не взаимозаменяемы. Другими словами, между ними нет полной симметрии, несмотря на то, что они могут трансформироваться вместе. Поэтому мы применяем обычную формулу построения гамильтониана, если известен соответствующий лагранжиан.

Между прочим, гамильтонов формализм в КТП так же релятивистски инвариантен, как и лагранжев формализм; первое просто не является инвариантным в отличие от второго.

Это правильно, но вводит в заблуждение новичка, такого как ОП.

Еще одна ссылка на такой подход (короткая статья):

Гамильтонова механика полей Р. Х. Гуд младший. Факультет физики Калифорнийского университета, Беркли, Калифорния Ссылка

из аннотации:

В релятивистской механике поля обычно вводят производную по времени от компоненты поля как ее скорость, а частную производную лагранжевой плотности по скорости - как ее канонически сопряженный импульс. Чтобы трактовать время и пространство эквивалентно, Борн и Вейль когда-то рассматривали четыре пространственно-временные производные компонента поля как четыре скорости и ввели четыре частные производные лагранжевой плотности по скоростям как четыре импульса. В настоящей статье эта идея развивается дальше, чтобы ввести обобщения идей точечной механики уравнений Гамильтона, скобок Лагранжа, скобок Пуассона и интегралов движения.

Лагранжиан в гамильтониан в квантовой теории поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v