Пусть A обозначает произвольное предложение. Недавно я прочитал несколько статей, в которых используются разные обозначения для выражения понятия «А истинно». Два, о которых я беспокоюсь, заключаются в следующем:
(1) [[A]] верно
(2) ⌈ A ⌉ верно
Я даже видел, как эти два разных обозначения использовались в одной и той же статье. Какова типичная разница между ними, если таковая имеется? Я подозреваю, что [[A]] (часто) буквально относится к набору миров, в то время как ⌈A⌉ относится просто к предложению без каких-либо обязательств относительно того, является ли это набором миров или нет, но я тут далеко не уверен.
Кто-нибудь знаком с типичными обозначениями в литературе здесь? Как насчет одинарных скобок, таких как [A]?
Первая (часто называемая семантическими скобками ) в основном встречается в формальной семантике , и это имя функции оценки , которая отображает выражения на формальном языке в объекты в модели оценки. Предположим, что А — это предложение «снег бел». Вот как используются семантические скобки:
[["A"]] верно ≡ снег белый
Второй вариант (часто называемый угловыми кавычками ) чаще всего встречается в контекстах, где человек имеет дело с двумя языками: объектным языком и метаязыком , и очень важно помнить об этом различии. Он отображает выражения метаязыка в выражения объектного языка. Ваш пример:
⌈ A ⌉ верно ≡ "снег белый" верно ≡ снег белый
Смысл угловых кавычек здесь состоял в том, чтобы заменить металингвистическое А выражением «снег бел», которое, в отличие от А, также встречается в объектном языке. Как только замена выполнена, угловые кавычки заменяются обычными кавычками, и оттуда творит свое волшебство обычное определение Тарского.
Наконец, я не знаком с каким-либо использованием [] в контексте семантики.
Что касается обозначения скобок, вы в основном правы. Проще всего сформулировать эту идею следующим образом. Скажем, для конкретности, мы имеем дело с предложением «А или не-Б». Это логически эквивалентно «не-(не-А и В)» и «если В, то А» (по крайней мере, в классической логике). Но все три из них — отдельные предложения (одно — дизъюнкция, другое — отрицание союза, третье — условное предложение). Обозначение «[A]» или иногда «[[A]]» можно рассматривать как удобное обозначение «пропозиционального содержания» A (которое можно сделать математически более точным). Например, в нашем исходном примере [A или не-B] = [не-(не-A и B)] = [если B, то A]. (Я не думаю, что там' существенная разница между одинарными скобками и двойными скобками; насколько я знаю, это просто условные предпочтения.)
Например, в контексте модальной логики [A] может обозначать множество состояний в некоторой модели, в которых A истинно. В контексте решеток или алгебраической логики [A] можно рассматривать как точку на решетке, которую обозначает A (и все ее логические эквиваленты).
Угловые кавычки, с другой стороны, носят более синтаксический характер. Их чаще всего можно увидеть в контексте нестандартных моделей ПА, теории множеств или всякий раз, когда вы имеете дело с системами, достаточно мощными для кодирования предложений своего языка (как вы иногда видите, например, в дебатах о теории Лжеца). парадокс). Угловые кавычки, помещенные вокруг предложения, образуют термин в языке, с которым вы имеете дело, и, следовательно, могут появляться и упоминаться в формулах напрямую. Однако обычно угловые кавычки вокруг логически эквивалентных предложений не будут обозначать одни и те же термины.
Они также иногда используются для правильного учета различий между использованием и упоминанием в сложных формулах, хотя это скорее философский прием/проблема, чем математический. (Объяснение см. в раздаточном материале Джона Макфарлейна о субституционных квантификаторах .)
напыщенный