Классическая семантика возможных миров

Модели возможных миров представляют собой реляционные структуры (основной набор, снабженный набором отношений). Например, модель возможных миров M может состоять из следующих компонентов: W, →, @, где W — множество возможных миров, → — отношение доступности на W 2 , а @ — выделенный мир ^W. A стандартное применение этих моделей — объяснение модальностей, но их также можно рассматривать как модели немодального классического исчисления высказываний, если рассматривать их следующим образом. Начиная с языка:

Определение 1. ( Язык ) Для пропозициональной буквы p язык пропозициональной логики определяется следующей грамматикой: φ := p | ф' | ¬φ | (ф ∧ ф),

мы можем продолжить наши логические изыскания одним из двух способов: (1) мы можем снабдить этот язык системой доказательств (набором аксиом и правил вывода) и начать выводить истины пропозициональной логики, и/или (2) мы можем снабдить этот язык семантикой ( интерпретацией его формул в какой-то общепризнанной структуре) и начать рассуждать семантически. Рассматриваемый вопрос касается семантики для (Определение 1), поэтому мы будем игнорировать системы доказательств классической логики высказываний и рассмотрим ее семантику:

Определение 2. ( Семантика ) Модели классической логики высказываний являются заданиями истинности.

Присвоения истинности - это функции, которые переводят пропозициональные буквы языка пропозициональной логики в значения истинности (что в классическом случае означает {0, 1}). Говорят, что формула φ языка логики высказываний истинна по отношению к присваиванию истинности v (символически: v ⊧ φ) только в том случае, если φ становится истинной всякий раз, когда буквам высказываний, встречающимся в φ, присваиваются значения истинности согласно v Например, при задании v = {p → 1, q → 0} формула (p → q) становится ложной.

Теперь вопрос состоит в том, имеет ли эта семантика какое-либо отношение к возможным мирам, и ответ таков: имеет. Ключ в том, чтобы заметить, что функции (включая присваивания истинности) также являются отношениями , и, следовательно, функции присваивания истинности также являются отношениями, а именно отношениями, которые связывают пропозициональные буквы с (уникальными) значениями истинности. Множество всех назначений истинности является реляционной структурой, и мы все время используем ее, когда говорим о тавтологиях и противоречиях в классической логике высказываний:

Определение 3. ( Тавтологии и противоречия ) Формула φ является тавтологией (⊧ φ) тогда и только тогда, когда каждое присваивание истинности делает φ истинным. Точно так же φ является противоречием тогда и только тогда, когда ¬φ является тавтологией.

Присваивания истины можно рассматривать как возможные миры: все, что нам нужно сделать, это извлечь из них те пропозициональные буквы, которые они отображают в 1, и мы получим набор пропозициональных букв, которые можно назвать истинными в этом «мире». Например, формула (p ∨ q) имеет 2 2 ^{возможных} значения истинности, 4 возможных мира: 00, 01, 10 и 11 миров. Первый можно описать как мир, в котором не выполняется ни p, ни q; второй как мир, в котором верно p, но нет q, и так далее. Формула не будет ни тавтологией, ни противоречием (то есть случайностью), потому что есть миры (а именно: 01, 10 и 11), где она выполняется, и есть мир (а именно: 00), где она не выполняется. т.

Это основная идея. Для стандартной обработки назначений истины см.:

Эндертон, Х. (1972) Математическое введение в логику , 2-е издание, § 1.2.

Да, ты можешь! Возможная мировая семантика для пропозициональной модальной логики может быть смоделирована булевыми алгебрами с операторами. См. Б. Йонссон и А. Тарский: Булевы алгебры с операторами. Американский журнал математики 73 (1951) и Р. Булл и К. Сегерберг: Основная модальная логика. В: Справочник по философской логике . Том. 3.