Лоренц-инвариантность меры интегрирования

Это инвариантно, потому что группа Лоренца$SO(3,1)$а буква «S» означает «особый», что математически означает условие

$$\det M = +1.$$ Но определитель — это в точности коэффициент, на который умножается форма объема при преобразовании координат по Лоренцу: $$x \to M\cdot x\quad \Rightarrow \quad d^4 x \to \det M \cdot d^4 x$$ (это правило преобразования на основе определителя также может быть получено, если рассматривать форму объема как антисимметричный тензор с 4 индексами), поэтому, если определитель равен $+1$, мера не меняется. Хорошо, $d^4 x$обычно интерпретируется как $|d^4 x|$, поэтому он фактически инвариантен относительно всего $O(3,1)$, включая показатели с $\det M =-1$. И условие $\det M=\pm 1$(с «ИЛИ») следует из самого условия ортогональности, поэтому прилагательное «специальный» действительно не нужно, когда мы уже сосредоточились на псевдоортогональных матрицах.